Основы моделирования динамических процессов ПТМ

Примером системы с  двумя степенями свободы может  служить невесомая балка, несущая две массы (рис. 2.3). Здесь независимыми параметрами, определяющими положение системы в любой момент времени, могут служить перемещения масс и относительно положения равновесия. Увеличивая число сосредоточенных масс колеблющейся балки, переходим в пределе к балке с распределенной по всей длине массой – колебательной системе (рис. 2.4) с бесконечным числом степеней свободы.

Рисунок 2.2 – Модель колебательной системы

 

Рисунок 2.3 – Модель с двумя степенями свободы

 

Рисунок 2.4 – Распределение масс по длине

 

Классификация механических колебаний может быть проведена и по другим признакам, В частности, принято различать следующие четыре типа колебаний: свободные колебания, вынужденные колебания, параметрические колебания и автоколебания.

Свободными (собственными) называются колебания, возникающие в изолированной системе вследствие внешнего возбуждения (“толчков”), вызывающего у точек системы начальные отклонения от положения равновесия, и продолжающиеся затем благодаря наличию внутренних упругих сил, восстанавливающих равновесие. Необходимая энергия, обеспечивающая процесс колебаний, поступает извне в начальный момент возбуждений колебаний. Период колебаний (время одного полного колебания) или частота колебаний (величина, обратная периоду) зависит от самой системы. Частота колебаний является вполне определенной для данной системы и называется собственной частотой колебаний системы, Свободные колебания из-за потерь энергии в системе практически всегда являются затухающими, хотя при анализе свободных колебаний указанными потерями энергии часто пренебрегают.

Вынужденными называются колебания упругой системы, происходящие при действии на систему (в течение  всего процесса колебаний) заданных внешних периодически изменяющихся вынуждающих сил. Характер колебательного процесса при этом определяется не только свойствами системы, но существенно зависит также от внешней силы. Примером вынужденных колебаний могут служить поперечные колебания балки (рис. 2.5), вызываемые неуравновешенной массой ротора и установленного на ней работающего электромотора.

Вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы и поддерживаются за счет непрерывного поступления энергии извне. При совпадении частоты вынуждающих сил с частотой собственных колебаний системы наступает резонанс, характеризующийся резким возрастанием амплитуды вынужденных колебаний, представляющим опасность для работы рассматриваемой механической колебательной системы.

Параметрическими называются колебания  упругой системы, в процессе которых периодически изменяются физические параметры системы – величины, характеризующие массу или жесткость системы. При этом внешние силы не влияют непосредственно на колебательное движение, а изменяют физические параметры системы. Примером параметрических колебаний могут служить поперечные колебания массы на вращающемся стержне некруглого сечения, имеющим разный экваториальный момент инерции относительно взаимно перпендикулярных осей.

Рисунок 2.5 – Поперечные колебания балки

 

Автоколебаниями, или самоколебаниями  упругой системы называются незатухающие колебания, поддерживаемые такими внешними силами, характер воздействия которых определяется самим колебательным процессом.

Автоколебания возникают в системе  в отсутствие внешних периодических  воздействий. Характер колебаний определяется исключительно устройством системы. Источник энергии, восполняющий потери энергии в системе в процессе ее колебаний, составляет неотъемлемую часть системы. Таким образом, автоколебания отличаются от свободных колебаний, являющихся затухающими, тем, что они не затухают. С другой стороны, автоколебания отличаются от вынужденных и параметрических колебаний, вызываемых внешними силами, характер действия которых в обоих случаях задан, тем, что они являются самовозбуждающимися колебаниями, в которых процесс колебаний управляется самими колебаниями.

При продольных колебаниях перемещения  всех точек упругого стержня направлены вдоль оси стержня. При этом имеет  место деформация удлинения или укорочения стержня, т.е. продольные колебания можно называть колебаниями растяжения – сжатия.

При поперечных (изгибных) колебаниях основные компоненты перемещений (прогибы) направлены перпендикулярно к оси стержня.

При крутильных колебаниях имеют место  переменные деформации кручения. Возможны также изгибно-крутильные колебания, т.е. колебания, при которых одновременно имеют место переменный изгиб и кручение.

 

Свободные колебания  систем с одной степенью свободы

 

Простейшей колебательной системой, с одной степенью свободы может  служить груз, подвешенный на вертикально  расположенной пружине (рис. 2.6).

Дифференциальное уравнение колебаний груза получим, взяв сумму проекций всех сил (включая силы инерции согласно принципу Даламбера) на вертикальную ось, в виде

.

Отсюда

,

или

.      (2.2)

где x – вертикальное перемещение груза от положения статического равновесия; , – время; – жесткость пружины; – ускорение свободного падения; – угловая частота свободных колебаний

;     (2.3)

 – величина удлинения пружины при статическом действии груза .

Решением уравнения (2.2) будет

, (2.4)

где А и В –  постоянные интегрирования, зависящие от  начальных условий.

Если заданы начальная координата груза x₀ и начальная скорость при , то из (2.4) определим

.                                                (2.5)

Полагая                                                 (2.6)

решение (2.4) можно представить в виде ,

где а — амплитуда колебаний, определяемая формулой

.

Рисунок 2.7 – Модель простейшей колебательной системы

 

Величина  называется фазой колебаний, а величина α — сдвигом фазы. На основании (2.6) α, может быть определено из условия

.

Угловая частота колебания (число колебаний, совершаемое в течение 2π секунд) на основании (2.3) будет

                                              (2.7)

Или ,

где — масса подвешенного груза.

Зная угловую частоту, можно определить период колебаний

.

Число колебаний в секунду, т. е. секундная частота, выражаемая в  герцах, определится формулой

.

При колебаниях груза, подвешенного на конце пружины, представляющей собой стержень длиной l с жесткостью поперечного сечения на растяжение EF и жесткостью

,

собственная частота колебаний  согласно (2.7) определится формулой

.                                   (2.10)

Учитывая, что  , можно записать

.                                        (2.11)

Из формул (2.10) и (2.11) видно, что частота свободных колебаний системы при неизменной массе возрастает с увеличением жесткости и уменьшается с увеличением массы при неизменней жесткости. Отношение частот свободных колебаний грузов, прикрепленных к концам двух разных стержней, обратно пропорционально корню квадратному из отношения статических удлинений стержней.

Примером системы с одной  степенью свободы может служить также колебательная система, состоящая из массивного диска, прикрепленного к нижнему концу жестко закрепленного верхним концом вала (рис. 2.8). Если к диску в его плоскости приложить и внезапно удалить пару сил, то возникнут свободные колебания кручения вала вместе с диском. Обозначим крутильную жесткость вала (крутящий момент, вызывающий закручивание вала на один радиан) через с:

,                                            (2.12)

где G — модуль упругости при сдвиге; d — диаметр вала; l — длина вала.

Рисунок 2.8 – Система с одной степенью свободы

 

Воспользовавшись принципом Даламбера (инерцией массы стержня пренебрегаем), получим дифференциальное уравнение крутильных колебаний диска, приравняв крутящий момент cφ, действующий в вале при его закручивании на угол φ, моменту сил инерции массы диска:

,                                                (2.13)

где J — момент инерции диска относительно оси стержня, перпендикулярной к плоскости диска.

Для диска постоянной толщины  h, изготовленного из материала с удельным весом γ, получим

.                                            (2.14)

Здесь D – диаметр диска; Q — вес диска.

Для диска переменной толщины

.                                            (2.15)

Обозначив

,                                                        (2.16)

уравнение (2.13) перепишем в виде

.                                                 (2.17)

Общее решение этого уравнения  будет

.                                           (2.18)

Период колебаний рассматриваемой  системы

.                                                   (2.19)

Для стержня постоянного диаметра d с учетом (2.12) имеем

,                                                    (2.20)

а частота колебаний

.                                                (2.21)

 

 

Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы

при гармоническом возбуждении

Уравнение вынужденных колебаний  системы с одной степенью свободы (рис. 2.7) получим, если в (2.2) кроме сил инерции и сил упругости, действующих на груз Q, учтем влияние периодической вынуждающей силы :

.                                              (2.22)

Обозначив

;                                                      (2.23)

,                                                       (2.24)

где р — угловая частота вынуждающей силы, приведем уравнение (2.22) к виду

.                                                (2.25)

При р малом по сравнению с ω членом можно пренебречь и считать, что имеет место только статическая деформация, максимальное значение которой

.                                                        (2.26)

Для определения динамической деформации необходимо решить уравнение (2.25). Решение уравнения (2.25) будет состоять из суммы общего решения однородного уравнения (при )

                                          (2.27)

и частного решения уравнения (2.25)

.                                                 (2.28)

Подставив (2.28) в (2.25), найдем

.                                                  (2.29)

Тогда общее решение уравнения (2.25) будет

.                          (2.30)

Первые два слагаемых правой части решения (2.30), характеризуют свободные колебания, которые обычно быстро затухают; последнее характеризует вынужденные установившиеся колебания с угловой частотой р (с периодом или частотой Гц) и амплитудой . Амплитуда вынужденных колебаний существенно зависит от соотношения собственной ω и вынужденной р частот колебаний и может быть охарактеризована так называемым коэффициентом динамического усиления.

                             (2.31)

или

,                                                 (2.32)

где .

Как видно из (31), при малом отношении и . Когда же частота вынужденных колебаний , т. е. , то . Когда , имеет место состояние резонанса. Соответствующая частота вынуждающей силы при этом называется критической. График зависимости , приведенный на рис. 2.9 и представляющий собой так называемую амплитудно-частотную характеристику позволяет проанализировать поведение колебательной системы в зависимости от соотношения частот свободных ω и вынужденных р колебаний.

Рисунок 2.9 – Пример амплитудно-частотной характеристики