Основы моделирования динамических процессов ПТМ

 

Свободные колебания  системы с одной степенью свободы  с учетом

сопротивления, пропорционального скорости

 

Уравнение свободных колебаний  системы с одной степенью свободы (рис. 2.10, а) с учетом сопротивления, пропорционального скорости движения колеблющегося груза, получим из рассмотрения условий его динамического равновесия:

,

или

,                                       (2.33)

где α — коэффициент пропорциональности; — сила сопротивления.

В уравнении (2.33)

.                                      (2.34)

Обозначим

.                                         (2.35)

Решение уравнения (2.33) будет

.                              (2.36)

где е = 2,718.

Рисунок 2.10 - Свободные колебаний системы с одной степенью свободы

с учетом сопротивления

 

Период затухающих колебаний рассматриваемой  системы

,                                          (2.37)

где n — коэффициент, характеризующий демпфирующую способность колебательной системы. Из (2.36) видно, что из-за множителя амплитуда колебаний с течением времени уменьшается — колебания затухают. Постоянные интегрирования A и В в решении (2.36) определяются из начальных условий. Так, полагая, что при , , находим

;  .

В этом случае решение (2.36) может быть представлено в виде

.                          (2.38)

В частном случае, когда А = 0, т. е. когда , уравнение (2.38) примет вид .

Графически это уравнение представлено на рис. 2.10, б. Уменьшение амплитуды следует геометрической прогрессии. Действительно, при t = 0; Т; 2T; … амплитуды соответственно имеют значения

, откуда

.                                    (2.39)

Величина δ называется логарифмическим декрементом колебаний и обычно является основной характеристикой затухания колебаний, или характеристикой демпфирующих свойств колебательной системы.

 

Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы

с учетом сопротивления, пропорционального скорости

 

Согласно данным предыдущих разделов дифференциальное уравнение  вынужденных колебаний системы, приведенной на рис. 2.10, а, при действии внешней вынуждающей силы должно быть записано в окончательном виде

,                                    (2.40)

где, как и ранее

.                                (2.41)

Общее решение уравнения (2.40) будет состоять из суммы решения однородного уравнения (2.33)

,

где , и частного решения уравнения (2.40)

.                                    (2.42)

После подстановки (2.42) в (2.40) найдем

;   .              (2.43)

Тогда общее решение уравнения (2.40) будет иметь вид

.                                   (2.44)

Поскольку со временем свободные колебания, характеризуемые членом, содержащим множитель , затухают, то при установившихся колебаниях вынужденные колебания системы будут характеризоваться последними двумя членами правой части решения (2.44), пропорциональными q.

Период незатухающих колебаний будет .

3 Нагрузки от сил инерции и качания груза на канатах

 

Различают силы инерции, вызванные  пусками и торможениями механизмов крана; возникающие при неравномерном движении элементов стрелового устройства при установившейся частоте вращения двигателей или при изменении частоты вращения в результате колебаний величины нагрузки (двигатели с мягкой характеристикой); при вращений элементов (центробежные силы инерции) и совместной работе механизмов поворота и изменения вылета (кориолисовы силы инерции); вызванные толчками из-за неровностей путей передвижения; при наезде на концевые упоры (буферы); вызванные качкой плавучих сооружений.

В результате взаимодействия сил инерции и сил упругости элементов механизмов и металлических конструкций возникают динамические нагрузки. Они определяются путем анализа процессов в соответствующей динамической системе, обычно описываемых дифференциальными уравнениями; при этом могут быть учтены многие факторы (зазоры в передачах, нелинейности в упругих связях, затухание колебаний), которые позволяют достаточно точно отразить процессы, реально протекающие при работе крана. При эскизном, а часто и рабочем проектировании для определения динамических нагрузок применяются упрощенные формулы, полученные при решении дифференциальных уравнений движения, или используют силы инерции F_и = ma, где m ~ масса элемента крана, движущаяся с ускорением а.

При составлении уравнений  движения могут использоваться как силовые, так и кинематические воздействия. Если на массу m, подвешенную на упругой связи с коэффициентом жесткости с, действует изменяющаяся по произвольному закону сила F(t), то дифференциальное уравнение движения имеет вид

где у — перемещение, отсчитываемое от положения равновесия при отсутствии внешней силы.

 

Рисунок 3.1 - Схемы силового (а) и кинематического (в) воздействия

 

При кинематическом перемещении точки  закрепления упругой связи по закону у_п(t) дифференциальное уравнение  движения массы m:

где у — перемещение массы т относительно точки закрепления упругой связи.

Уравнение совпадает по виду с уравнением движения, поэтому  все выводы, получаемые при исследовании движения массы m под действием приложенной к ней вынуждающей силы F(t), можно применить и при исследовании движения, вызываемого перемещением точки  крепления упругой связи.

При нулевых начальных  условиях решение уравнения:

где — частота собственных колебаний груза, . В выражении t₁ следует рассматривать как постоянную величину.

Если на массу m действует ограниченная линейно возрастающая нагрузка, то

,

где — статическое смещение массы m под действием силы ; Т – время нарастания нагрузки.

 

 

Рисунок 3.2 - Зависимости силового воздействия (а)

и соответствующего ему перемещения  массы (б) от времени

 

Наибольшее значение перемещения

,

где — период собственных колебаний груза, . Динамический коэффициент как отношение максимального перемещения к статическому :

,

где – коэффициент нарастания нагрузки, график изменения которого в зависимости от отношения изображен на рис.штриховой линией. Для практического применения принимается при по огибающей кривой (сплошная линия). При Т = 0 (мгновенное приложение нагрузки) ; при и с точностью до 5 % динамическим влиянием нагрузки на систему можно пренебречь. Для увеличения времени нарастания нагрузки в передаточные звенья механизмов вводят упругие элементы.

В случае мгновенного приложения нагрузки и времени ее действия t_H в соответствии с формулой получим при , что и при . При     максимальное смещение

.

Динамический коэффициент  при , при , при динамическое перемещение массы m не достигает y_cт.

В случае внезапного снятия постоянной нагрузки

Все зависимости, касающиеся сил F(t), действительны также и для крутящих моментов М(t). Динамические нагрузки учитываются с помощью динамических коэффициентов и рассматриваются как квазистатические.

В процессе колебания крановой конструкции и груза происходит их затухание. На интенсивность рассеивания энергии при колебаниях влияет множество факторов; обычно надежной информацией о распределении сил трения не располагают, поэтому оценивают лишь интегральный эффект, например логарифмический декремент колебания.

 

Рисунок 3.3 - Зависимость коэффициента нарастания нагрузки

от

 

Рисунок 3.4 - Схема внезапного приложения нагрузки (а)

и соответствующее ей перемещение  массы при 

(б)

Логарифмический декремент колебания  определяется как логарифм отношения двух последовательных отклонений: . При расчетах динамических нагрузок в крановых конструкциях он обычно принимается не зависящим от величины отклонения и определяется из экспериментальной осциллограммы затухающих колебаний по выражению

,

где и — размахи колебаний соответственно в i-м и отстоящем от него на n периодов (i+n)-m циклах колебаний.

Время затухания колебаний от до отклонения

,

где — период колебаний системы с демпфированием, при малом демпфировании он практически не отличается от периода колебаний консервативной системы; n — число колебаний при затухании от y_i до отклонения y_i+n.

 

Рисунок 3.5 - Развертка затухающих колебаний

 

Средние значения логарифмического декремента колебаний

Часть, механизм или узел крана
Коробчатые крановые мосты* Металлические конструкции  козловых кранов Металлические конструкции  стреловых устройств портальных кранов Металлические конструкции  портала портальных кранов (включая опорно-поворотное устройство, ходовые тележки я крановые пути) Механизмы подъема груза и поворота портальных кранов Механизмы изменения  вылета стрел портальных кранов При крутильных колебаниях груза на канатном подвесе металлургического крана При колебаниях грейфера из плоскости стрелы портального  кране	0.05–0.12 0.10–0.22 0.05 0.35–0.45   0.30–0.50 0.15–0.40 0.04–0.20 0.135
*Для крановых мостов с достаточной точностью , где — период собственных колебаний моста с тележкой бея груза, расположенной  в середине пролета.

 

Средние значения для основного тона колебаний приведены в таблице. Допустимое время затухания колебаний конструкции зависит от типа крана и условий его эксплуатации. Если колебания конструкции или кабины крановщика чрезмерны, целесообразно использовать гасители колебаний или виброизоляцию места крановщика.

При работе механизма подъема груза  динамические нагрузки возникают в  периоды неустановившегося движения при подъеме груза с основания  и опускании на него; при пуске (торможении) висящего груза на подъем или спуск. При подъеме груза с жесткого основания при слабонатянутом канате (подъем с подхватом) или мгновенном торможении опускающегося груза массой m_т динамический коэффициент нагрузки на металлоконструкцию, или отношение максимальной нагрузки F_max к статической от веса G груза: может быть определен из рассмотрения двухмассовой расчетной схемы (рис. 3.6, а) по выражению

,

где — скорость отрыва груза от основания, или скорость его спуска;

 и  — приведенные к точке приложения нагрузки соответственно масса и коэффициент жесткости конструкции;

 и  — частоты собственных колебаний конструкции с грузом:

,

где знак минус относится к  , знак плюс — к , – коэффициент жесткости грузовых канатов; — перемещение точки подвеса груза вследствие статического удлинения грузовых канатов от веса груза, .

 

Рисунок 3.6 - Расчетные схемы для определений нагрузок на

металлоконструкцию (а) канаты (б) при работе механизма подъема груза

 

Динамический коэффициент  нагрузки на металлоконструкцию крана может быть определен из рассмотрения одномассовой расчетной схемы (рис 20, а при ) в виде:

 

,

где — статический вертикальный прогиб конструкции от веса груза в месте его приложения (грузовая тележка, концевые блоки стрелы и т. п.), значения см. в табл.;  — поправочный коэффициент. Для отдельных групп кранов значение устанавливается на основании дополнительных исследований, зависящих от способа запуска двигателя механизма подъема. При отсутствии таких данных для кранов общего назначения можно принимать . Частота собственных колебаний конструкции G грузом как для системы с одной степенью свободы

Динамический коэффициент  нагрузки в канате при подъеме груза с жесткого основания с подхватом или при мгновенном торможении опускающегося груза может быть определен в соответствии с одномассовой расчетной схемой (рис. 3.6, б) в виде: ,