Лекции по "Статистике"

 

Средняя гармоническая  используется в том случае, если неизвестны частоты признаков, а  данные представлены объемом признака (x*m) и вариантами признака.

Если показатель z = 0, то получим при логарифмировании, а затем потенцировании формулы (1) среднюю геометрическую:

  - простая;     (7)

  - взвешенная,   (8)

где П - произведение вариантов в степени m: .

Например, расчет среднего темпа роста выпуска продукции в цехе (табл. 3).

Таблица 3

Месяцы	Выпуск продукции, млн. р.
Январь	10,2
Февраль	11,1
Март	11,3
Апрель	12,0

 

Темпы роста:

; ;

Средний темп роста определяем по формуле (7): .

Аналогично можно рассчитать средний темп путем извлечения кубического  корня из отношения объема за апрель к объему в январе: .

Средняя геометрическая используется при расчете средних относительных величин.

2. Структурные средние  - мода и медиана. Мода M₀ - это вариант, наиболее часто встречающийся в данном ряду. Моду определяют по наибольшей частоте. В примере, помещенном в табл.1, можно определить модальный интервал - от 100 до 105, т.к. здесь наибольшая частота =17.

В интервальном вариационном ряду мода определяется по формуле:

;   (9)

где  - нижняя граница модального интервала; i - величина модального интервала; - частота соответственно модального, предмодального и послемодального интервала.

По данным табл. 1 рассчитаем модальное значение выполнения норм выработки, используя формулу (9): .

В качестве характеристики вариационного ряда применяется медиана М_е - значение варьирующего признака, которое приходится на середину ранжированного вариационного ряда. Если в вариационном ряду 2m+1 случаев, то значение признака у случая m+1 будет медианным. Если в ряду четное число 2m случаев, медиана равна средней арифметической из двух срединных значений. Медиана в дискретном вариационном ряду равна:

;   .

Медиана в интервальном ряду определяется по формуле 

,     (10)

где   - нижняя граница медианного ряда; i - величина медианного интервала; - сумма накопленных частот до медианного интервала; - частота медианного интервала.

Медианный интервал определяется по кумулятивным частотам: где впервые сумма частот превысит , значит, это и есть медианный интервал.

По данным табл. 1 кумулятивная частота 20 превышает 0,5m ( ), значит интервал от 100 до 105 -  медианный.

Медиана рассчитывается (10):   .

Выбор вида средней для  характеристики признака производится в зависимости от особенностей изучаемого явления и от цели, для которой  исчисляют среднюю.

Средние величины, характеризуя вариационный ряд одним числом, не учитывают степень вариации признака.

3 . Для ее измерения  используют показатели  вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Размах  вариации (R) определяется по формуле

R = x_max - x_min      (11)

Этот показатель часто  используется для характеристики качества продукции.

Среднее линейное отклонение (r) представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений вариантов от средней.

Рассчитывают:

  - простое;     (12)

 - взвешенное.    (13)

Средний квадрат отклонения - дисперсия (s²) наиболее часто применяется для характеристики колеблемости признака.

 - простая;     (14)

 - взвешенная.    (15)

Среднее квадратическое отклонение (s) - это квадратный корень из дисперсии:

 - простое;     (16)

-взвешенное.    (17)

 

Достоинство этого показателя по сравнению со средним линейным отклонением в том, что при его вычислении никакого условного допущения о необходимости суммирования отклонений вариантов от средней без учета их знаков не делается.

Учитывая, что все вышеназванные  показатели вариации представляют собой  абсолютные величины, выраженные в тех же единицах измерения, что и варианты, для характеристики колеблемости признака используют относительные показатели - коэффициенты вариации (v):

    или    (18)

.      (19)

Пример

По данным табл. 4 рассчитать показатели вариации.

Таблица 4

Производство деталей  за час в бригаде токарей

Количество деталей, шт.	Число рабочих
1	2	3	4	5
6 - 8	7	49	28	112
8 - 10	10	90	20	40
10 - 12	15	165	0	0
12 - 14	12	156	24	48
14 - 16	6	90	24	96
Итого	50	550	96	296

 

(дет)  по (2)    (дет)  по (13)

(дет) по (15)   (дет)  по (17)

 по (18)    по (19)

R = 16 - 6 = 10 (дет) по (11).

 

 

4. Наряду с количественной  существует и качественная вариация признака. При двух взаимно исключающих друг друга вариантах вариация признака называется альтернативной.

Обозначим наличие признака 1, а отсутствие - 0, долю вариантов, обладающих данным признаком - p, а долю вариантов, не обладающих им - q. Тогда p + q = 1.

Дисперсия альтернативного  признака (s²) равна

        (20)

Для каждой группы вариантов  ряда распределения может быть вычислена дисперсия. Если совокупность разделить на группы, то для каждой можно рассчитать дисперсию по (15), которая может быть названа внутригрупповой дисперсией ( ). Из внутригрупповых дисперсий может быть найдена средняя ( ):

,       (21)

где n_i - численность единиц в каждой группе.

Средняя из внутригрупповых  дисперсий служит для характеристики среднего рассеивания признака внутри групп.

Частные (групповые) средние ( ) могут не совпадать с общей средней по совокупности ( ). Мерой колеблемости при этом является межгрупповая дисперсия ( ):

.       (22)

Между общей дисперсией (s²), средней из групповых ( ) и межгрупповой дисперсией существует такая связь:

s² = + .       (23)

Это правило сложения дисперсий.

Пример

Таблица 5

Данные о выпуске  деталей

Количество деталей	Число токарей
	В первую смену	Во вторую смену
1	2	3
6 - 8	7	15
8 - 10	10	19
10 - 12	15	7
12 - 14	12	5
14 - 16	6	0
Итого	n1 = 50	n2 = 40

 

Для первой смены уже  рассчитаны (см. вопрос 3): (дет), (дет).

Аналогично рассчитываем и для второй смены: (дет), (дет).

Среднюю из внутригрупповых  дисперсий рассчитываем по (21):

(дет).

Для определения межгрупповой и общей по совокупности дисперсии рассчитаем среднюю по совокупности (табл. 6)

Таблица 6

Расчет средней и  дисперсии по совокупности

Количество деталей	Число токарей (1+2 смены)	xm
6 - 8	22	154	317.7
8 - 10	29	261	94
10 - 12	22	242	0.9
12 - 14	17	221	82.3
14 - 16	6	90	105.8
Итого	90	968	600.7

 

(дет)      (дет)   

.

Таким образом,

s² = + , в примере  6,6 » 6,1 + 0,3.

Расхождение в 0,2 объясняется  округлением в счете.

Можно определить влияние  группировочного признака на вариацию признака, определив коэффициент детерминации:

.        (24)

В нашем примере  . Отмечается незначительное влияние (около 5%) распределения токарей по сменам на их выработку.

 

5. Слово index - латинское, означает в переводе показатель, указатель. В статистике индексами называют относительные показатели, выражающие изменения сложных экономических явлений, состоящих из непосредственно несуммируемых элементов.

Основным вопросом построения индексов является вопрос о сопоставимости сравниваемых явлений. Сопоставимость достигается различными способами. Наиболее простой из них - разложение сложных явлений на простые, однородные, а затем соизмерение этих простых явлений с помощью индивидуальных индексов. Общий вид индивидуального индекса (i):

Как видно, этот показатель строится по схеме, идентичной относительной  величине динамики.

Наиболее часто встречаются  следующие индивидуальные индексы:

объема проданной (выпущенной) продукции , где q₁, q₀ - соответственно объем продукции в отчетном и в базисном периодах;

цен проданной (выпущенной) продукции , где p₁, p₀ - соответственно цена в отчетном и в базисном периодах.

Значительно сложнее, если необходимо соизмерить не отдельный  элемент (цену, объем выпущенных одноименных  машин), а всю совокупность в целом.

В этом случае необходимо использовать общие индексы, которые могут быть агрегатными или средними.

Существует правило построения агрегатных индексов: если индексируется (соизмеряется) качественный показатель, то весами к нему берется количественный в неизменном отчетном уровне; если индексируется количественный показатель, то весами берется качественный в неизменном базисном уровне.

Согласно этой теории агрегатный индекс цен (I_p) будет

.        (25)

Тогда агрегатный индекс  объема продукции (I_q) равен

.        (26)

Чтобы выяснить формулу  агрегатного индекса достаточно уточнить, какая (качественная или количественная) величина индексируется. Любой агрегатный индекс может быть преобразован в средний.

Индекс цен: ; отсюда . Подставим это вместо p₀ в (25). Получим:

  -  средний гармонический индекс цен.

По индексируемым качественным величинам строятся обычно средние  гармонические индексы.

Индекс объема: ; отсюда . Подставим это вместо q₁ в (26). Получим:

- средний арифметический индекс объема, который находится обычно по индексируемым количественным величинам.

Пример

Таблица 7

Определение индексов

Вид изделий	Объем, шт.		Цена, р.
	Базис	Отчет	Базис	Отчет
А	8	10	10	9,5	1,25	0,95
Б	20	22	8	9,0	1,10	1,13