Лекции по "Статистике"

 

1. Наблюдение не всегда  охватывает все единицы совокупности, иногда в силу большой стоимости  или при контроле качества, когда  проверка сопровождается разрушением образцов, невозможно провести наблюдение над всей совокупностью.

В этом случае проводят выборочное наблюдение, при котором обследованию подвергается часть единиц совокупности, отобранных  случайно, но с заранее известной численностью.

Вся совокупность, из которой  производится отбор, называется генеральной, а совокупность отобранных единиц  - выборочной. В процессе обследования выборочной совокупности можно рассчитать среднее значение исследуемого признака по выборке ( ),  которое будет отличаться от аналогичной средней по генеральной совокупности ( ): , т.к. обследование было не сплошным. Величина, на которую отличается  от , является ошибкой выборки (репрезентативности). Чем блике размер выборочной совокупности к генеральной, тем меньше ошибка репрезентативности.

Выборочная совокупность может формироваться разными  методами. Может быть индивидуальный отбор (когда отбирается каждый  раз одна единица совокупности) или серийный.

После отбора отобранные единицы могут быть возвращены в  генеральную совокупность - повторный отбор, либо могут не участвовать в дальнейшем отборе - бесповоротный отбор.

Отбор может быть произведен: собственно-случайным способом, механическим, типическим и серийным способами.

При собственно-случайной выборке отбор производится обычной жеребьевкой. Собственно-случайная выборка в статистической  практике применяется редко. Обычно отбор осуществляется механически - через определенный интервал. Например, отбор каждого 5-го, 10-го и т.д. студента по алфавитному списку фамилий.

При типическом отборе обследуемая  генеральная совокупность подразделяется на типические группы, из которых затем  отбирается определенное число единиц так, чтобы сохранить в выборке  структуру генеральной совокупности.

При серийной выборке отбор проводится не отдельных единиц, а серий или комплектов.

 

2. Как уже было сказано  выше, между характеристиками выборочной  и генеральной совокупности есть разница - ошибка  репрезентативности. Ошибки репрезентативности могут быть рассчитаны как средняя и с определенной вероятностью – предельная ошибка.

Средняя ошибка выборки (m) рассчитывается:

при повторном отборе ,     (34)

при бесповторном отборе ,  (35)

где  s – среднее квадратическое отклонение; n - численность выборочной совокупности; N - численность генеральной совокупности.

Если выборочное наблюдение применяется для определения  доли признака, то в формулах  вместо  среднего квадратического отклонения ставят (см. тема 2, вопрос 3).

Пример. При разработке материалов учета городского населения  методом случайного бесповторного отбора было установлено, что в городе 15% жителей - пенсионеры. При этом из  500 тыс. жителей было отобрано 50 тыс. Определить среднюю  ошибку для доли жителей-пенсионеров в генеральной совокупности.

По (35) 

Значит в среднем  ошибка 4,8%.

Предельная  ошибка выборки (D) связана со средней коэффициентом доверия (t): D= t × m.

Коэффициент доверия  зависит от вероятности, с которой  можно гарантировать определенные размеры предельной ошибки:

 

Коэффициент доверия (t)	Вероятность
1	0,683
2	0,954
3	0,997

Чтобы определить значение признака в генеральной совокупности ( ), нужно скорректировать его значение по выборке на предельную ошибку выборки (D):

Продолжив наш пример, найдем предельную ошибку для доли пенсионеров с вероятностью 0,954. В этом случае t = 2,  то есть   D = 2 × 0,048 = 0,096. Значит, доля по генеральной совокупности (h) будет отличаться от доли по выборке (w) на 9,6%: . Т.е. доля пенсионеров в городе находится в пределах от 24,6 до 5,4%.

 

3. Приведенные выше  формулы ошибок выборки позволяют  заранее рассчитать тот объем  выборки, при котором отклонение  выборочных показателей от генеральных не превысит заданных  размеров, гарантируемых с определенной вероятностью.

Численность выборки (n):

при повторном отборе ;    (96)

при бесповторном отборе .    (97)

Пример. В городе проживает 2000 семей. В порядке случайной  бесповоротной выборки предполагается определить средний размер семы при  условии, что ошибка выборочной средней  не должна превышать 0,8 с вероятностью 0,954  и при среднем квадратическом отклонении 2,0:

По (97)   

При определении необходимой  численности выборки по этим формулам для определения дисперсий используют данные предыдущих обследований. При полном отсутствии каких-либо данных о вариации альтернативного признака вместо pq подставляют его максимальное значение, равное 0,25.

Выборочное обследование широко используется в статистических исследованиях при контроле качества, обследованиях бюджетов семей, изучении резервов в производстве.

 

Вопросы для  самопроверки

1. Может ли средняя ошибка выборки равняться предельной?
2. При каком способе отбора ошибка репрезентативности меньше?
3. От каких параметров зависит численность выборочной совокупности?

Тема 8 . Применение корреляционно-регрессионного анализа в статистике

Изучаемые  вопросы

1. Определение формы  корреляционной зависимости.

2. Расчет параметров  уравнения репрессии и тесноты  связи.

 

1. Любое общественное  явление находится в связи  с другими явлениями; исследование таких взаимосвязей - важнейшая задача статистики. Наиболее часто для этого используют метод  корреляции. Термин корреляции происходит от английского слова  correlation - соотношение, соответствие. К изучению связи методом корреляции обращаются в том случае, когда нельзя  игнорировать влияние посторонних факторов. При этом число наблюдений должно быть достаточно велико, так как малое число наблюдений не позволяет обнаружить закономерность связи.

Первая задача корреляции заключается в выявлении на основе значительного числа наблюдений того, как меняется в среднем результативный признак в связи с изменением одного или нескольких факторов. Вторая задача состоит в определении  степени влияния искажающих факторов. Первая задача решается  определением уравнения регрессии и носит название регрессионного анализа. Вторая - определением различных показателей тесноты связи и называется собственно и корреляционным анализом.

При изучении влияния  одних признаков явлений на другие из цепи признаков, характеризующих  данное явление, выделяются факторные  и результативные признаки. Выделение признаков ведется логическим анализом.

Например, производительность труда зависит от стажа работы, разряда рабочих. Значит, производительность труда – результативный (функциональный) признак, а стаж, разряд рабочего - факторный  признак (аргумент).

Связь между двумя взаимосвязанными признаками легко изобразить графически. Для этого  результативный  признак  (функцию)  обозначают  y, а факторный (аргумент) - x.

Пару чисел легко  представить на плоскости, образуемой системой прямоугольных координат, при этом факторный признак откладывается на оси абсцисс и результативный - на оси ординат.

Если одному значению факторного признака соответствует  только одно значение результативного, то такая связь называется функциональной. Функциональные связи легко представить формулами. Например, зависимость силы тока от величины  напряжения к сопротивлению в электрической цепи (закон Ома).

Связь между случайными величинами называется стохастической. Эта связь характеризуется тем, что результативный  признак не полностью определяется факторным признаком, его  влияние проявляется в среднем при достаточно большом числе  наблюдений.

Пример

Имеются следующие данные о разряде рабочего и среднемесячной заработной плате.

 

Разряд	1	1	2	2	2	2	3	3	3	3	3
Среднемесячная з/п, р.	100	120	150	160	170	190	180	180	180	190	200
Разряд	4	4	4	4	4	5	5	6	6	6
Среднемесячная з/п, р.	180	240	250	300	300	280	280	340	360	410

 

Изобразим эти данный графически (рис. 7).

Рис. 7. График корреляционной зависимости (поле корреляции)

 

Видно, что одному значению аргумента (разряду) соответствует  ряд распределения функции (зарплаты). Ряды распределения функции закономерно смещаются - зарплата в среднем увеличивается с повышением разряда. Найдем средние значения аргумента и функции.

	1	2	3	4	5	6
	110	168	186	254	280	370

    и т.п.

Нанесем на график и и соединим ломаной линией (рис. 7).

Эта линия изображает взаимосвязь между средними значениями аргумента и функции и называется эмпирической линией регрессии. Необходимо установить теоретическую линию регрессии, т.е. установить функцию, связывающую результативный и факторный признаки. Полученная ломаная регрессия  (рис. 8)  может помочь в выборе функции. Увеличение или уменьшение результативного и факторного признаков в арифметической прогрессии означают, что сглаживание нужно производить по прямой  . В этом случае эмпирические графики должны быть (рис. 8):

Если равноускоренное  или равнозамедленное изменение  функции (рис. 9), то сглаживание можно провести по параболе второго порядка  или по гиперболе .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 8 . Эмпирические линии  регрессии      Рис. 9. Эмпирические линии регрессии при

             при зависимости по прямой     зависимости по параболе и гиперболе

 

Более сложные зависимости  могут быть иллюстрированы параболой  третьего порядка, логарифмической  или показательной функцией.

 

2. Выбрав теоретическую  функцию, описывающую корреляционную  зависимость между результативным и факторным признаком,  нужно рассчитать параметры уравнения регрессии. Расчет чаще всего производится по способу наименьших квадратов при использовании системы нормальных уравнений.

Эти системы различны для разного рода кривых:

1. Прямая линия ;

      (38)

2. Парабола второго порядка ;

    (39)

3. Гипербола .

.      (40)

В нашем примере, используя  в качестве теоретической функции прямую , рассчитаем параметры уравнения по (38).

Для этого определим  .

Решив систему нормальных уравнений, найдем a » 54, b » 50.

Следовательно, уравнение  имеет вид  .

Значит, для рабочего 2 разряда зарплата по уравнению  рассчитывается (р.) - что отличается от эмпирических данных.

Теснота или сила связи  между двумя признаками может  быть измерена эмпирическим корреляционным отношением (h)

.        (41)

В случае прямолинейной  связи тесноту можно определить с помощью коэффициента корреляции (r).