Разомкнутая система программного управления

Определение массы столба жидкости через параметры тракта и переход от изменения скорости к изменению расхода в этом комплексе дает:

,

где l_м - длина магистрали.

Подставляя последнее равенство  в уравнения (68) и пренебрегая  квадратом отклонения расхода во вторых членах правой части (68), получим  линейные уравнения динамики гидравлических трактов:

;

.          (69)

Перейдем к уравнениям в отклонениях. Для этого из уравнений динамики (69) вычтем уравнения статики (67):

;

.

В полученных уравнениях перейдем к  безразмерной форме записи:

;

.                (70)

Комплексы констант при двух первых членах правых частей уравнений (70) безразмерны  и имеют смысл коэффициентов  усиления. Комплексы постоянных величин  в третьих членах правых частей имеют  размерность времени и соответствуют  физическому смыслу постоянных времени. Таким образом, можно записать

;

,

где                                                     ;

;   ;   ;   .      (71)

Перейдем в полученных выражениях к символической форме записи и объединим члены, содержащие расходы:

;

,                                (72)

где                                                  и        .

Полученные уравнения динамики в форме (72) соответствуют свойствам  идеального усилительного звена  по отношению к давлению на входе, что отражает свойства магистрали как транспортного трубопровода, и звена с введением производной по отношению к расходу, что отражает учет инерции массы столба жидкости в магистрали, причем расход в контуре соединения с ФГ будет входить как сигнал ООС.

Таким образом, для каждой магистрали необходимо рассматривать два переходных процесса. Первый показан на рис.56 для идеального усилительного звена.

Рис. 56

Второй процесс получается из решения  уравнений динамики (72) по отношению  к входному сигналу  . По отношению к тракту окислителя уравнение будет иметь вид:

.

Анализируя переходный процесс  от единичного ступенчатого воздействия, запишем

.

Производная от единичного ступенчатого воздействия есть дельта-функция: . Таким образом, в общем виде для любой магистрали можно записать

.                               (73)

Графическое изображение решения  приведено на рис.57. Пунктирными  линиями здесь показан теоретический  переходный процесс, отвечающий полученному  решению в соответствии с принятой ранее трактовкой дельта-функции. Ход  теоретического процесса показан стрелками.

Рис. 57

Для реальных гидравлических трактов  такие процессы невероятны. В гидравлических трактах всегда имеет место дессипация энергии, не позволяющая реализовать  подобные процессы. Поэтому обратимся  к одному из искусственных приемов, позволяющему приблизить переходный процесс линейного  анализа к реальным процессам. Воспользуемся для этой цели предельным выражением для дельта-функции

и ограничим предел ее аппроксимации  такой экспонентой, которая имеет  постоянную времени Т_м, а именно

,

и подставим ее в выражение (73):

                                                 .                                        (74)

Графически полученный процесс  показан на рис.57 сплошной линией. Этот процесс начинается с конечного  заброса величиной   от нового уровня , что соответствует подстановке в (74) условия t=0, и экспоненциально сходится к нему. Длительность переходного процесса определяется величиной 3×Т_м.

При таком представлении процессов  в магистралях сразу же возникает  вопрос о динамическом согласовании магистралей подачи окислителя и горючего из условия сохранения постоянного соотношения компонентов топлива в переходных процессах. Естественно, что эта задача может быть выполнена только при условии Т_м.О=Т_м.Г. В этом случае по обеим линиям расходы будут изменяться синхронно, что обеспечит сохранение их соотношения во времени. Поскольку по выражению (71) Т_м определяется уровнем режима и отношением l_м/F_м, то очевидно, что согласование постоянных времени магистралей возможно только путем изменения l_м/F_м по линии компонента, не участвующего в охлаждении КС и подбора длины и диаметра трубопроводов, отвечающих условию Т_м.О=Т_м.Г.

Структурная схема, соответствующая  уравнениям динамики магистралей (72), приведена  на рис.58.

Рис. 58

В ней наглядно показан входной сигнал по расходам с введением не только самого сигнала, но и его производной.

Дальнейшее уточнение динамических свойств трактов ЖРД может  идти в направлении учета реальной формы сигнала, учета сжимаемости  жидкости и податливости стенок трубопроводов.

 

3.4.  УРАВНЕНИЕ  ДИНАМИКИ  НАСОСНОГО  АГРЕГАТА

Для оценки динамических свойств турбонасосного агрегата (ТНА) и воспроизведения  картины общих связей в этом агрегате предварительно необходимо рассмотреть  напорные характеристики насосов.

Поскольку основной входной величиной в магистрали в данной задаче являлось давление р_н, то эта величина для увязки структурной схемы ДУ должна быть выходной для насосов. Применим аналитическую аппроксимацию напорных характеристик и запишем ее выражение относительно давления за насосом в виде

;

,                                (75)

где р_О и р_Г - давления на входе в насосы.

Переменными величинами во времени  в исходных уравнениях установившегося  режима (75) являются давления р и р_н, расходы m и частота вращения роторов насосов n. Для составления уравнения динамики необходимо переменным величинам задать отклонения. Проводя эту операцию, примем, что насосы полностью залиты идеальной несжимаемой жидкостью, каверны на входе в насосы отсутствуют, корпусы насосов абсолютно жесткие. При этих предположениях уравнения динамики напорной характеристики насосов останутся алгебраическими и примут вид

;

.    (76)

После линеаризации (76) по Тейлору  и вычитания уравнений (75) установившегося  режима получим:

;

.                                  (77)

Переход к безразмерной форме записи дает

;

,              (78)

где .

В уравнениях (78) константы перед  переменными величинами в правой части уравнений имеют смысл  коэффициентов усиления:

;  ;  ;

;  ;  .                 (79)

Введем их в уравнение (78):

;

.                                  (80)

Структурная схема уравнений (80) показывает (рис.59), что насос является усилительным звеном по отношению к входным  сигналам.

Рис. 59

При этом отрицательный знак при  расходах компонентов топлива как  входной величины обусловлен падающей частью напорной характеристики насоса (рис.60, кривая 1). Отрицательный знак перед расходами определяется знаком частной производной, входящей в коэффициенты усиления K₁₂ и K₁₅.

Рис. 60

Потребителями энергии насосов  является гидравлическая сеть питания топливом и камера ЖРД, нагруженная давлением р_к (рис.60, кривые 2-4). При глубоком регулировании ЖРД без изменения частоты вращения ротора насосов точка совместной работы насоса и гидравлической сети может переместиться с падающей части характеристики насоса (точка а) на ее восходящую часть (точка б). При этом, несмотря на изменение знака частной производной др_н/дm свойство самостабилизации (самовыравнивания) режима совместной работы системы «насос - гидравлическая сеть» сохраняется. Это происходит вследствие того, что при увеличении расхода от любых равновесных точек совместной работы потребный напор гидравлической сети превышает располагаемый напор насоса, а при уменьшении расхода от равновесной точки наоборот - напор насоса превышает потребный напор гидравлической сети. Таким образом, разность приращений потребляемых и располагаемых напоров во всех случаях направлена на восстановление равновесной точки работы системы «источник энергии - потребитель».

 

3.5.  УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ РОТОРНОЙ ЧАСТИ ТУРБОНАСОСНОГО АГРЕГАТА

Физическая и расчетная модели роторной части ТНА показаны на рис.61.

Рис. 61

Динамика ТНА в рассматриваемой  структуре связей характеризуется  угловой скоростью ротора w (или частотой вращения n) и суммарным моментом инерции дисков турбины, насосов и массы жидкости в их проточных каналах. Очевидно, что для связи с напорной характеристикой насосов линейная модель ТНА будет иметь выходной величиной частоту вращения вала n. Остальные параметры ТНА (все давления и расходы) будут входными величинами. Из них основной, обуславливающей связь с ГГ, для рассматриваемой структуры будет давление перед турбиной р_Т.

Уравнение равновесного режима работы определяется законом сохранения момента  количества движения

                                        или   ,                          (81)

где М - крутящий момент.

В балансе моментов (81) переменными  во времени могут быть обе величины. Задаем им приращения и получаем уравнения  динамики в виде

                        .                 (82)

Уравнение динамики (82) обнаруживает тот факт, что любое изменение  крутящих моментов, приложенных со стороны турбины или потребителя, встречает момент внутреннего сопротивления М_сопр со стороны ротора, обладающего конечным моментом инерции. Преодоление этого внутреннего момента сопротивления связано с процессом изменения угловой скорости ТНА во времени.

Вычитая из уравнения динамики (82) уравнение статики (81), получим уравнение  динамики в отклонениях

                                                   .                                          (83)

Найдем изменение моментов через  их определяющие величины. Для момента турбины

,

или с учетом, что  для активной турбины, получим

                                                      ,                                              (84)

где N_Т - мощность турбины; m_Т - расход газа через турбину; L_ад - удельная адиабатная работа газа; h_Т - КПД турбины; F_СА - проходная площадь соплового аппарата; р_Т - давление газа перед турбиной; b_Т - расходный комплекс турбины, определяемый по выражению

,

здесь j_СА - коэффициент потерь в сопловом аппарате; R_Т и Т_Т - постоянная газа и температура газа в турбине; k - показатель адиабаты газа.

В выражении (84) константами будут L_ад и b_Т, а величины р_Т, h_Т и n - переменные. Задавая переменным величинам отклонения, после линеаризации и исключения уравнения равновесного режима получим

.

Перепишем последнее выражение  с учетом зависимости h_Т от окружной скорости (или частоты вращения)

,

обозначая , окончательно запишем

.                                       (85)

Для момента насосов

.                   (86)

где N_н - мощность насосов; р_н - давление за насосами; р - давления перед насосами; h_н - КПД насосов; r - плотность компонентов топлива.

В последнем выражении переменными  величинами будут расходы компонентов, давления и частота вращения. Остальные величины будут постоянными.

В этом случае уравнение динамики примет вид

(87)

а после проведения линеаризации и  исключения из уравнения динамики (87) уравнения статики (86) получим

                 (88)

Далее, подставляя выражения (88) и (85) в  уравнение (83) и переходя от угловой  скорости к частоте вращения, получим

.

Перенесем в левую часть последнего выражения все члены, содержащие отклонения выходной величины Dn, и перейдем к безразмерной форме записи

.

В полученном выражении разделим левую  и правую части на постоянный коэффициент  при Dn:

          (89)

В уравнении (89) перед каждой переменной величиной стоят постоянные коэффициенты. Коэффициент перед первой производной  имеет размерность времени; это постоянная времени ТНА. Как видно из (89), постоянная времени ТНА определяется моментом инерции роторной части и разностью частных производных моментов отвода и подвода энергии по частоте вращения. Перед всеми переменными величинами правой части константы безразмерны и имеют смысл коэффициентов усиления. Присвоим всем константам порядковые номера

;                       ;

;        ;

;         ;

;        .       (90)

и будем окончательно иметь уравнение  динамики в символической форме записи

                 .      (91)

Из структуры уравнения (91) видно, что движение ТНА во времени описывается  свойствами инерционного усилительного  звена с включением ООС. По каждому  из входных каналов воздействия  вызывают экспоненциальный переходный процесс (рис.62), соответствующий решению дифференциального уравнения (91) в виде:

.                             (92)

Рис. 62

Пользуясь принципом суперпозиции, возможно получить переходные процессы аналогичного вида по отношению к  любому входному сигналу. В соответствии со свойствами инерционного звена постоянная времени роторной части ТНА определяется как время раскрутки ТНА при скачкообразном изменении любого из входных сигналов до новой частоты вращения ротора при условии, что скорость изменения раскрутки была бы равна начальной и оставалась постоянной до установления нового режима, т.е. при условии, что переходный процесс совпадает с касательной, проведенной к экспоненте в начале процесса (рис.62). Как правило, в ЖРД постоянная времени ТНА всегда больше других постоянных времени инерционных агрегатов ДУ и определяет инерционные свойства ДУ как объекта регулирования в целом. Структурная схема ТНА, отвечающая уравнению динамики (91), показана на рис.63.

Рис. 63

Величины коэффициентов при  отрицательных входных сигналах (K₁₈, K₁₉, K₂₁, K₂₂) в уравнении (91), которые реализуют обратные связи в общей структуре ДУ, характеризуют степень самостабилизации ТНА при работе на установившемся режиме. Естественно, что эти коэффициенты определяются как выбором номинального уровня режима, так и частными производными момента насоса по рассматриваемым входным сигналам (выражения (90)).