Разомкнутая система программного управления

Понятие устойчивости линейных САР  основано на характере переходного процесса и более точно формулируется следующим образом. Устойчивой называется такая линейная САР, переходные процессы в которой со временем затухают и остаются менее наперед заданной допустимой величины при любых ограниченных по уровню входных возмущениях. Это определение сводится к выполнению условия

,                                                 (117)

где y(t) = у_факт(t) – у_зад(t)– переходный процесс системы, определяемый как разность между фактическим движением, вызванным возмущением, и заданным законом движения САР (на рис.81 заштрихованная разность ординат). Практический смысл определения устойчивости приводит к требованию возвращения возмущенного фактического движения системы у_факт(t) к заданному закону движения у_зад(t) с ликвидацией во времени динамической переходной составляющей у(t), по крайней мере, до величины статической ошибки или до уровня допускаемых отклонений.

Из определения следует, что  об устойчивости системы можно судить по решению уравнения динамики замкнутой  САР, общий вид которого будет иметь форму

(118)

Полное решение этого уравнения можно записать в виде

.                                         (119)

Общее решение однородного дифференциального  уравнения

                          (120)

определяет переходную составляющую решения у_пер(t), установившаяся составляющая у_уст(t) находится как частное решение неоднородного дифференциального уравнения (118).

Для исследования устойчивости определяющей является переходная составляющая решения, так как установившаяся составляющая решения определяется в переходном процессе вынужденным движением. Исключение уровня статической ошибки из определения устойчивости будет соответствовать исключению из полного решения (119) установившейся составляющей переходного процесса. В этом случае определение устойчивости сводится к требованию

.                                                  (121)

Если переходный процесс с течением времени расходится, т.е. если

,                                                  (122)

то система называется неустойчивой. Линейные системы, в которых переходный процесс не расходится и не затухает, называются находящимися на границе устойчивости.

Как известно, переходная составляющая решения соответствует собственному движению системы после вывода ее из состояния равновесия. Собственное движение характеризуется таким переходным процессом, который вызывается возмущением, приложенным на коротком отрезке времени, по существу являясь лишь причиной отклонения системы от равновесного состояния. Собственное движение динамической системы по своему описанию соответствует решению однородного дифференциального уравнения (120). Таким образом, исследование устойчивости линейных систем сводится к анализу возможных видов решения однородного уравнения. Необходимость получения общего решения однородного уравнения с вычислением постоянных интегрирования также отпадает, вследствие того, что пределы (121) и (122) определяются только лишь знаками степени экспонент, входящими в структуру общего решения однородного дифференциального уравнения. В свою очередь, знаки степени экспонент (согласно общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений) определяются знаками действительных частей решений характеристических уравнений, соответствующих дифференциальным.

Обозначим через  l₁, l₂, …, l_n корни характеристического уравнения

.                                  (123)

Предположим, что все корни являются действительными числами  l_j=a_j. В этом случае переходный процесс будет иметь вид

,                                              (124)

где С₁, С₂ , ... , С_n – постоянные интегрирования (в общем случае произвольные постоянные).

Рассмотрим устойчивость систем по полученному выше определению для следующих вариантов:

1) если a < 0, то – система устойчива;

2) если a > 0, то – система не устойчива;

3) если a = 0, то – система на границе устойчивости.

Если корни характеристического  уравнения системы (123) – комплексные  числа l_j = a_j± iw, то переходный процесс будет иметь вид

.                                      (125)

Анализ тех же случаев приводит к следующим вариантам:

1) если a < 0, то – система устойчива;

 

2) если a > 0, то – система не устойчива;

 

3) если a = 0, то – система на границе устойчивости.

Из анализа рассмотренных вариантов  можно сформулировать необходимое  и достаточное условие устойчивости линейных систем. Для того, чтобы линейная САР была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения системы (123) были отрицательными.

Поскольку устойчивость линейных систем целиком определяется собственным движением системы, то можно сделать косвенный вывод о том, что устойчивость не определяется видом правой части уравнения динамики САР, т.е. не зависит от вида возмущающего или командного воздействий.

Пример. Найти условия устойчивой работы неустойчивого инерционного объекта с идеальным регулятором (рис.82). Уравнение динамики инерционного неустойчивого объекта

.

Уравнение идеального регулятора при  включении его в отрицательную  обратную связь к объекту

.

 Уравнение динамики САР будет иметь вид

 или   .

Характеристическое уравнение, соответствующее  дифференциальному, будет

,откуда  .

Поскольку Т_об > 0, то для обеспечения устойчивости необходимо . При выполнении этого условия САР будет устойчивой.

Графически необходимые и достаточные условия устойчивости можно иллюстрировать местом распределения корней характеристического уравнения по комплексной плоскости в виде корневого годографа (кривые 1 и 2 на рис.83), который характеризует не только факт устойчивости, но также степень устойчивости и качество переходных процессов. Для устойчивости динамической системы все корни характеристического уравнения должны быть расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости распределения корней характеристического уравнения.

О степени устойчивости судят по удалению ближайших корней характеристического уравнения от мнимой оси, попадание корней на которую характеризует границу устойчивости (рис.84,а и б). Наиболее простой оценкой степени устойчивости служит расстояние от мнимой оси до ближайшего корня h.

Степень устойчивости называет апериодической, если ближайший к оси корень вещественный (рис.85 и кривая 1 на рис.83). В этом случае в переходных процессах доминирует экспонента

,

быстрота затухания которой  характеризуется соотношением

(так как h_а=1/Т, а переходный процесс заканчивается за время ~3Т).

Если ближайшими к мнимой оси  будут комплексные корни (рис.86 и  кривая 2 на рис.83), то в общих чертах в переходном процессе доминируют колебания

,

где показатель -h_к определяет скорость затухания колебательного процесса.

При h_а= 0 система находится на апериодической границе устойчивости (см. рис.84,а). При h_к= 0 система находится на колебательной границе устойчивости (см. рис.84,б).

Для двух динамических систем, имеющих  одинаковое удаление первого ближайшего корня от границы устойчивости, степень устойчивости оценивается расстоянием x наиболее удаленного корня от мнимой оси распределения корней (рис.87). Однако при слишком большом удалении корня характеристического уравнения от границы устойчивости (l ® ¥) динамическая система может потерять устойчивость (или существенно уменьшить степень устойчивости) вследствие соизмеримости понятий ±¥. Подобная ситуация возникает при малых значениях коэффициента при старшей производной а_n (или при старшем порядке характеристического уравнения) по отношению к последующему.

Склонность динамической системы  к колебаниям оценивается величиной

,

т.е. отношением действительного коэффициента при мнимой части корня к его  вещественной части. Этот показатель оценивает степень колебательности системы, который определяется частотой колебаний и быстротой их затухания одновременно. Так, для двух динамических систем, имеющих одинаковое удаление двух комплексных корней от границы устойчивости (рис.88,а) при одинаковых длительностях затухания колебаний, имеется существенная разница в частоте колебаний (рис.88,б и в).

Две динамические системы, характеристические уравнения которых имеют одинаковые мнимые части, но различные вещественные части (рис.89,а), существенно отличаются длительностью затухания колебаний (рис.89,б и в).

В рассмотренных случаях более  высокая степень колебательности  соответствует большему углу g. При g = 180^о динамическая система выходит на колебательную границу устойчивости.

Таким образом, степень колебательности для систем, имеющих ближайшие к границе распределения корней комплексные корни, отождествляется со степенью устойчивости. Следовательно, степень устойчивости характеризует вид (форму) и скорость возвращения переходного процесса к равновесному режиму работы.

Частным показателем устойчивости является запас устойчивости. Запас  устойчивости так же, как и степень  устойчивости, характеризует удаление ближайшего корня характеристического уравнения от границы устойчивости. Но это удаление обеспечивается за счет лишь одного параметра динамической системы, который при своей вариации влияет на распределение корней. В частном случае запас устойчивости может быть определен по одному (или поочередно по каждому) коэффициенту уравнения динамики системы. В частотной области запас устойчивости определяют по амплитуде колебаний или по фазовому сдвигу выходных колебаний по отношению к входным.

Приведенные выше определения устойчивости, условия устойчивости и оценка степени устойчивости были сделаны в предположении, что движение динамической системы характеризуется линейными дифференциальными уравнениями и что отклонения переменных величин малы. В практике обычно все системы нелинейные, однако можно распространить результаты анализа устойчивости линеаризованных систем на исходную нелинейную систему при следующих условиях, сформулированных Ляпуновым.

1. Если все корни линеаризованной  системы имеют отрицательные  вещественные части, то и исходная нелинейная система при рассмотрении малых отклонений будет иметь отрицательные вещественные части корней (т.е. исходная нелинейная система будет также устойчива в «малом»).

2. Если линеаризованная система  неустойчива, то в «малом» будет  неустойчива и исходная нелинейная  система.

3. Если линеаризованная система находится на границе устойчивости, то для определения свойств исходной нелинейной системы необходимо рассматривать более высокое приближение, т.е. учесть в разложении ряда Тейлора члены более высокого порядка.

Третье условие Ляпунова говорит  о том, что при попадании корней характеристического уравнения линеаризованной системы на границу устойчивости исходная нелинейная система будет находиться вблизи границы и может быть как устойчивой, так и неустойчивой.

Практически для обеспечения устойчивости при использовании линейной оценки свойств динамической системы ни один корень характеристического уравнения, соответствующего дифференциальному, не должен находиться на мнимой оси.