Разомкнутая система программного управления

Полное решение линейного дифференциального  уравнения (51) складывается из двух решений - общего (без правой части) и частного (с правой частью):

.

Общее решение характеризует переходный процесс и имеет вид

,

где С - постоянная интегрирования; l - корень характеристического уравнения. Частное решение получается из условия t® ¥ для установившегося процесса, при котором d/dt® 0:

.

Тогда полное решение уравнения (51)

.

Характеристическое уравнение, соответствующее  дифференциальному (51), будет

,        откуда  . Тогда

                                            .                                     (52)

Постоянная интегрирования находится  из начальных условий: при t® 0 . Подстановка этих условий в (52) дает тождество

.            Откуда                     .

Полученное значение С подставляем в (52) и окончательно находим

                                               .                                        (53)

Графическое изображение найденного решения показано на рис.47. Оно характеризует изменение давления в КС от скачкообразного изменения на входе расхода окислителя.

Рис. 47

Исследуем полученное решение (53), найдя  производную при t = 0:

                       .           (54)

Такая операция соответствует проведению касательной к кривой переходного процесса в начальной точке (рис.47). Из выражения (53) видно, что переходный процесс является асимптотическим и стремится с течением времени к уровню . Одновременно из выражения (54) видно, что касательная (рис.47), проведенная в начале координат к кривой переходного процесса, отсекает на асимптоте отрезок времени, равный T_1.О. Этот отрезок называют подкасательной. Свойства исследуемой кривой таковы, что проведенная в любой точке касательная отсекает на асимптоте всегда одинаковый отрезок, равный T_1.О. Теоретически экспоненциальный процесс продолжается бесконечно долго. Однако на практике под временем переходного процесса понимается отрезок времени величиной 3×T_1.О.

Этот переходный процесс условный и практически не реализуемый, так как он не отвечает требованию k_m = m_О/m_Г = const, и может быть получен только расчетом. Однако после сложения с аналогичным процессом, полученным отдельно от воздействия по линии горючего, он соответствует принятым условиям и становится реальным.

                   (55)

Графическое сложение решений показано на рис.48. Исследование полученного  решения представляет практический интерес. Коэффициенты уравнения динамики КС (50) характеризуют как величину уровня нового режима, который устанавливается после изменения расходов (с помощью коэффициентов усиления K₁ и K₂), так и длительность этого режима (с помощью постоянной времени T₁). Вид левой части уравнения (50) характеризует инерционные свойства КС, обусловленные сжимаемостью газа. Как видно из рис.48, инерционность процесса изменения давления газа в КС заключается в том, что в ответ на скачкообразный входной сигнал выходной, искажая форму входного, имеет максимальную скорость изменения в начале процесса, а затем скорость его изменения монотонно падает до нуля. Геометрический смысл постоянной времени T₁, как показателя инерционности, состоит в том что T₁ - время, за которое мог бы закончиться переходный процесс, если бы скорость его изменения была равна начальной и сохранялась постоянной до установления нового режима. Коэффициент усиления K показывает уровень нового режима выходной величины по отношению к уровню входного скачкообразного воздействия.

Рис. 48

Суммарный переходный процесс изменения  режима при одновременном изменении  расходов можно получить опытным путем. С этой целью в опыте необходимо после выхода КС на установившийся режим синхронно с помощью параллельно включенного отсечного клапана изменить скачком расходы на входе в КС так, чтобы на новом режиме сохранилось прежнее значение k_m и регистрировать во времени изменение давления в КС. Однако опытный результат по форме может иметь существенное отличие от расчетного, т.к. эксперимент всегда проводится в конкретной системе трубопроводов, а КС работает вместе с форсуночной смесительной головкой. Естественно, что такой опыт нужно проводить, исключая из системы питания присоединенные емкости и длинные трубопроводы.

Реальный переходный процесс от расчетного будет отличаться на время  чистого запаздывания моментов изменения  расходов и начала изменения давления в КС. Это обстоятельство обусловлено физической природой топлива, которое обладает свойством запаздывания воспламенения.

При соизмеримых значениях постоянной времени КС с величиной запаздывания воспламенения топлива необходимо для сохранения физической картины учитывать величину чистого запаздывания (рис.49).

 

Рис. 49

Для этого введем обозначения:

;

,                        (56)

которые учитывают сдвиг начала переходного процесса на время запаздывания относительно момента внесения возмущений. При этом уравнение динамики КС (50) в символической форме записи примет вид

.               (57)

Запись уравнения в форме (57) соответствует функциональной схеме  КС, показанной на рис.50. Элементы запаздывания 1 и 2 (рис.50) несколько условны и  показывают, что при моделировании процесса изменения давления в КС выходной сигнал запаздывает относительно входного на заранее известную величину.

Рис. 50

Для более строго учета величины запаздывания в описании переходного  процесса запишем входное воздействие, учитывающее запаздывание (56) в виде ряда по степеням малых приращений (t_зап)на основании того, что эта величина мала по отношению к текущему времени t:

.

Перепишем этот ряд в символической  форме:

.

Перейдем к записи полученного  ряда в области изображений по Лапласу:

.

Ряд в квадратных скобках последнего выражения представляет собой разложение функции  . Таким образом, окончательно запишем:

                                                     .                                             (58)

Далее, подставляя (58) с присвоением индексов в уравнение динамики КС (57), которое предварительно переведем в область изображений по Лапласу, получим

или                                  .                      (59)

Уравнение динамики КС в форме передаточной функции будет

.                                                 (60)

Структурные схемы, соответствующие  выражению (60), приведены на рис.51. Полученные передаточная функция и структурные  схемы характеризуют инерционные  свойства КС с учетом запаздывания воспламенения компонентов топлива.

Рис. 51

 

3.2.  УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ  ФОРСУНОЧНОЙ СМЕСИТЕЛЬНОЙ ГОЛОВКИ

 

Для форсуночной смесительной головки (ФГ) камеры сгорания физический закон  связи расхода и перепада давлений на форсунках и ее геометрией на установившемся режиме записывается в виде:

;       .                               (61)

Переменными во времени величинами будут расход топлива m и давления p_ф и p_к. Остальные параметры (плотность компонентов r, коэффициент расхода m_фи площадь проходного сечения форсунки F_ф) за рассматриваемый короткий промежуток времени изменяться не могут.

Выходной величиной ФГ будет  расход топлива, который поступает  в газовую полость КС и является для нее входной величиной.

Запишем уравнение динамики ФГ, задавая  переменным величинам отклонения:

;

                     .              (62)

Полученные уравнения предполагают головку полностью залитой несжимаемой  жидкостью, а стенки головки - абсолютно  жесткими. Поэтому уравнения динамики (62) не содержат производных и являются алгебраическими.

Перейдем к уравнению в отклонениях  и одновременно линеаризуем уравнения (62) с помощью разложения в ряд  Тейлора, ограничиваясь только первыми  членами:

;

.

Заменим в полученных выражениях абсолютные отклонения относительными:

;

.                        (63)

В правые части безразмерных уравнений  динамики (63) перед переменными величинами входят константы:

  ;  ;

;  .                                   (64)

Частные производные в этих константах являются тангенсами углов касательных, проведенных в точках номинального режима к статическим характеристикам связи расхода компонентов топлива и давлений, т.е. являются характерными числами. Их легко определить, дифференцируя уравнения статики (61) отдельно по каждому переменному. Константы при входных величинах в уравнениях динамики имеют смысл коэффициентов усиления, поэтому окончательно для ФГ получим:

;                              .                               (65)

ФГ имеет два входных сигнала, причем один из них, по давлению в КС, отрицательный. Это означает, что при увеличении давления в КС расход через ФГ падает. Этот известный физический эффект (для соединения «КС - ФГ») в теории автоматического управления получил название отрицательной обратной связи (ООС). Именно благодаря ООС форсуночной головки с камерой сгорания возможно поддержание устойчивого процесса подачи топлива в КС с одновременным выбросом продуктов сгорания через сопло.

ФГ обеспечивает подачу топливной  смеси в КС, которая сгорая является источником энергии. Сопловая часть  КС является потребителем этой энергии (точнее - ее преобразователем). В системах «источник энергии - потребитель» в зависимости от сочетания их характеристик может осуществляться свойство самостабилизации (самовыравнивания) совместных режимов работы при условии, что разность приращений между подводом и отводом энергии или вещества, возникающая при отклонениях от равновесного режима, устраняет эти отклонения.

На рис.52 показаны характеристики подвода топлива при постоянном давлении перед форсунками (кривая m_О+m_Г) и отвода продуктов сгорания через сопло (прямая m_c) в зависимости от давления в КС.

Рис. 52

Пересечение этих двух характеристик  образует точку совместного равновесного режима работы ФГ и сопла с координатами p_к.ном и m_ном. При положительном отклонении давления от номинального уровня в КС между характеристиками подвода топлива и отвода газов возникает отрицательная разность приращений расходов, а при отрицательном отклонении давления - положительная (заштрихованные области на рис.52), которые возвращают систему в равновесную точку. В этом свойстве проявляется физическая сущность самовыравнивания совместных режимов работы ФГ и сопла КС.

Как видно из рис.52, необходимый  знак разности приращений между подводом топлива и отводом продуктов  сгорания реализуется за счет положительного наклона характеристики сопла (угол a) и отрицательного наклона характеристики подачи топлива (угол b).

Переходные процессы, соответствующие  уравнениям динамики (65) показаны на рис.53 и 54. Они характеризуют свойства идеального усилительного звена, в процессе передачи сигнала которым не искажается форма входного воздействия, а изменяется лишь его уровень.

Структурная схема ФГ, соответствующая  уравнениям (65), показана на рис.55.

ООС по на ней изображена секторами а сумматоров б входных сигналов.

Рис. 53     Рис. 54

Рис. 55

 

3.3.  УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ  ТРУБОПРОВОДОВ И ТРАКТА ОХЛАЖДЕНИЯ

 

Уравнение динамики трубопроводов  и охлаждающего тракта с учетом податливости стенок и течения по ним реальной жидкости не описывается линейными  уравнениями типовых звеньев. Однако в поставленной задаче исследования приближенного качественного анализа динамических свойств ДУ в целом при взаимодействии с регулятором в диапазоне низких частот (до 50 Гц) можно ограничиться представлением гидравлических трактов как транспортных магистралей. При такой приближенной динамической оценке компонент топлива в трубопроводе представляется свойствами идеальной несжимаемой жидкости, а все параметры трактов течения компонентов - сосредоточенными.

В этом случае уравнение статики для гидравлических магистралей можно приближенно представлять, как для сосредоточенных сопротивлений:

;

.

Коэффициенты расхода магистралей m_м, площади поперечного сечения магистралей F_м и плотность компонентов топлива r будут константами. Переменными величинами во времени, отвечающими принятым допущениям, будут в данном случае расходы m и давления перед ФГ p_ф и за насосами p_н.

Выходной величиной рассматриваемых  звеньев будет входная величина в ФГ, т.е. p_ф. По правилам составления уравнений динамики, приведенным выше, необходимо записать ее в левой части, т.е.

;            .

            Постоянный комплекс величин  в полученных выражениях обозначим  как

.                                                    (66)

Тогда                                             ;

.                                             (67)

Уравнения (67) являются исходными уравнениями  статики магистралей как звеньев  ОР. Из них видно, что магистрали имеют два входных сигнала, один из которых, со знаком «минус» (по расходу), в контуре соединения с ФГ будет введен как ООС.

Составим уравнения динамики магистралей, задаваясь переменными отклонениями, с учетом инерции столба жидкости в трактах. Последнее обстоятельство вызвано тем, что скорость движения жидкости в трактах ЖРД достаточно велика и при скачкообразной перестановке регулирующих органов ее изменение происходит в короткий промежуток времени. Итак,

;

.              (68)

В уравнениях динамики (68) комплекс величин  , где M_м - масса жидкости в магистрали, а w - скорость ее движения, является силой инерции столба жидкости в тракте при изменении скорости ее движения по времени, а комплекс - соответствующее изменение давления, здесь F_м - поперечная площадь сечения магистрали.