Лекции по "Высшей математике"

ВЕКТОРЫ

Вектор -  направленный отрезок.       

= - длина вектора.          Если =1, то - единичный вектор.

Коллинеарными ( )называют векторы, расположенные на параллельных (в частности, на одной) прямых, а компланарными – векторы, расположенные в параллельных (в частности, в одной) плоскостях.

  (коллинеарны и одинаково направлены - сонаправлены) и .

Из определения равенства  векторов следует, что вектор можно  переносить параллельно самому себе, перемещая начало в любую другую точку на плоскости или в пространстве. Такие векторы называются свободными.

 

Линейные  операции над геометрическими векторами

Сумма	Правило треугольника    Правило параллелограмма    Разность
Умножение на число:  . 1. 2.	;               ;               ;              .

 

Линейная зависимость  и независимость векторов. Базис

          Вектор  , где – произвольные действительные числа, называется линейной комбинацией векторов  .

          Система векторов  линейно зависима, если, по крайней мере, один из них является линейной комбинацией остальных. В противном случае линейно независимы. Например, если , то векторы линейно зависимы.

         Любые  линейно независимых векторов пространства  называют базисом этого пространства. Если эти векторы единичные и попарно перпендикулярные, то базис называется ортонормированным.

Базис на плоскости (в ) образуют любые два неколлинеарные вектора   и	Ортонормированный базис в - три попарно перпендикулярных единичных  вектора   : Разложение  вектора по базису , , , – координаты вектора. Обозначение:
Базис в пространстве (в ) образуют любые три некомпланарных вектора

 

 

Проекция вектора  на ось		Прямоугольная декартова система координат (ПДСК)
пр	пр пр пр пр пр	,  – абсцисса, – ордината, – аппликата.

В ПДСК: пр   пр   пр где – углы, которые составляет вектор с координатными осями соответственно; называются направляющими косинусами вектора : .

единичный вектор, сонаправленный с вектором ,– орт вектора

(нормированный вектор).

 

Если даны точки А и В , то
координаты  вектора	координаты  середины М отрезка АВ	длина отрезка  АВ (модуль вектора  )

 

Если векторы заданы координатами      и   , то
модуль вектора	Линейные операции	Равенство  векторов	Коллинеарность

 

Скалярное произведение двух векторов ( обозначение:

или  )

По определению	В проекцииях	В координатах	Свойства
Число, равное =	= пр = пр	=	1) ;     2) ; 3)  ; 4)  ;         5)  .

 

Применения  скалярного произведения

Модуль  вектора	Угол между  векторами	Условие ортогональности	Вычисление проекций	Вычисление  работы силы
	= =

 

 

Полярные координаты точки  : радиус-вектор точки М, полярный радиус, полярный угол,

               

Пример: Найти полярные координаты точки , если ее декартовы координаты .

Решение. ,