Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Ноября 2012 в 14:35, курс лекций
I. Множество замкнуто относительно некоторой операции, если результат действия операции на элементы этого множества дает снова элемент из . Например, множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения ( сумма, разность и произведение целых чисел также целое число) и не замкнуто относительно операций извлечения корня и деления ( и не целые числа).
МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
МАТРИЦА – это таблица |
Транспонирование матриц |
1) ; 2) - м. – строка м. – столбец | |
Обозначения |
Действия с матрицами |
|
m и n – размеры; m строк, n столбцов; m =n –квадратная. Элемент |
1. Матрицы одинаковых размеров можно складывать и вычитать. 2. При умножении матрицы на число каждый её элемент умножается на это число , . 3.Умножение возможно, если число столбцов первого сомножителя, матрицы А, равно числу строк второго сомножителя, матрицы В. В общем случае . Правило для размерностей: . |
|
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ – число, поставленное в соответствие квадратной матрице |
Схематические правила вычисления определителей третьего порядка | ||||
Общий вид, обозначения и вычисление
при |
Правило треугольников |
Правило Саррюса | |||
|
|||||
|
Виды квадратных матриц и значения соответствующих определителей | |||||
диагональная |
верхнетреугольная |
нижнетреугольная |
единичная | ||
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
МИНОРОМ элемента определителя -го порядка называется определитель -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием -й строки и -го столбца, на пересечении которых стоит элемент .
АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ДОПОЛНЕНИЕМ элемента определителя называется число, которое вычисляется по правилу . Пример. . , . , .
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ РАЗЛОЖЕНИЕМ ПО ЭЛЕМЕНТАМ СТРОКИ ИЛИ СТОЛБЦА
Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (или столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения: (разложение определителя по -й строке), (разложение определителя по -му столбцу).
разложение определителя по 1-му столбцу
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если справедливо равенство: , где – единичная матрица. Обратная матрица существует, если , и равна
, где - алгебраические дополнения элементов м. , .
Примеры. 1) Найти элемент матрицы , если . По формуле для :
Т.к. , то обратная матрица существует. . Получаем = 2) Найти , если : ◄ Умножим обе части равенства справа на Так как и , то ►
РАНГ МАТРИЦЫ
Ранг матрицы ( обозначение: ) – наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы.
Ранг равен максимальному числу линейно независимых строк матрицы, содержащих ненулевые элементы. Примерами линейно независимых строк служить строки, соответствующие элементы которых не равны и не пропорциональны.
Примеры. 1) . Матрица содержит 2 строки, но они пропорциональны: , следовательно, линейно независима ровно 1 строка и . 2) . Строки этой матрицы линейно независимы: 3) . Т.к. третья строка нулевая, то, как и в примере 2, 4) . Т.к. минор третьего порядка, отличный от нуля, то порядку этого минора.