Лекции по "Высшей математике"

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

1. Определитель не меняется при транспонировании матриц ( ).
2. Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак.
3. Если все элементы одной строки (столбца) определителя пропорциональны (в частности, равны) соответствующим элементам другой строки (столбца), то он равен нулю.
4. Если в определителе строка (столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю.
5. Общий множитель у элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
6. Определитель не изменится, если ко всем элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

МИНОРОМ элемента определителя -го порядка называется определитель -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием -й строки и -го столбца, на пересечении которых стоит элемент .

АЛГЕБРАИЧЕСКИМ  ДОПОЛНЕНИЕМ элемента определителя называется число, которое вычисляется по правилу .   Пример. .  , .      ,    .

ВЫЧИСЛЕНИЕ  ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ РАЗЛОЖЕНИЕМ ПО ЭЛЕМЕНТАМ  СТРОКИ ИЛИ СТОЛБЦА

Определитель  равен сумме произведений элементов  любой его строки (или столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения: (разложение определителя по -й строке), (разложение определителя по -му столбцу).

разложение определителя по 1-му столбцу

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если справедливо равенство: , где – единичная матрица. Обратная матрица существует, если , и равна

, где - алгебраические дополнения элементов м. , .

Примеры. 1)  Найти элемент матрицы , если  .  По формуле для :   

Т.к. , то обратная матрица существует. .  Получаем  =    2) Найти , если : ◄ Умножим обе части равенства справа на Так как и  , то ►

РАНГ МАТРИЦЫ

            Ранг матрицы ( обозначение: ) – наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы.

Ранг равен максимальному числу линейно независимых строк матрицы, содержащих ненулевые элементы. Примерами линейно независимых строк служить строки, соответствующие элементы которых не равны и не пропорциональны.

Примеры. 1) . Матрица содержит 2 строки, но они пропорциональны: , следовательно, линейно независима ровно 1 строка  и . 2) . Строки этой матрицы линейно независимы:    3) . Т.к. третья строка нулевая, то, как и в примере 2,    4) . Т.к. минор третьего порядка, отличный от нуля, то порядку этого минора.