Лекции по "Высшей математике"

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)

 

Формы записи, обозначения
Общий вид: где – неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, , ; – свободные члены уравнений.         Если , то  система называется однородной, если хотя бы один из них отличен от 0, то неоднородной.	Матричная запись: , где – основная матрица системы;  -        - матрица- столбец свободных членов; – м.-столбец неизвестных.   - расширенная матрица системы.
Решением  системы называется набор чисел , удовлетворяющих всем уравнениям системы.

 

Теорема Кронекера - Капелли. Для того чтобы СЛАУ была совместной, необходимо и достаточно, чтобы (ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы). Если (n – число неизвестных), то система имеет единственное решение. Если , то система имеет бесконечно много решений.

Замечание. Т.к. в однородной СЛАУ всегда , то она всегда имеет решения. Если ( при ), то единственное нулевое решение , если , то бесконечно много решений, которые находятся также, как и для неоднородной СЛАУ.

 

Методы решения неоднородных СЛАУ при

и (система имеет единственное решение)

По формулам Крамера:  , ,  где – определитель, полученный из путём замены в нём -го столбца столбцом свободных членов.

Матричный метод:     , где - матрица, обратная матрице .

Метод Гаусса, заключающийся в преобразовании системы к равносильной системе с верхнетреугольной основной матрицей.

Примеры

1. ◄ и система имеет единственное решение, которое можно найти любым способом. Самый беспроблемный метод (хотя и самый громоздкий) – метод Крамера. Понять, как им пользоваться и только считать! В заменить сначала первый столбец на столбец из свободных членов, потом второй, потом третий:

 Получаем  ►

2.  ◄ , но  система либо не имеет решений, либо имеет бесчисленное множество решений. Это можно установить по теореме Кронекера-Капелли. Запишем расширенную матрицу системы: .  Приведем основную матрицу А (матрица до черты) к верхнетреугольной матрице. Для этого сначала из 2-й и 3-й строк вычитаем 1-ю, получим матрицу: . Затем из 3-й строки вычитаем 2-ю, умноженную на 2, получим матрицу: .  В полученной основной матрице две ненулевых линейно независимых строки, следовательно, ранг  . В расширенной матрице три линейно независимых строки, значит, ее ранг . Получили , следовательно, система решений не имеет. Сл–но, система также решений не имеет й матрице соответствует  система , в которой последнее уравнение , которое не имеет решений.  Сл–но, система также решений не имеет.

Замечания. 1) Проведенные в примере преобразования над матрицей не изменяют ее ранга (ранг – наивысший порядок не равного 0 минора, а по свойствам определителей проведенные преобразования не могут равный 0 определитель превратить в неравный 0, и наоборот). Такие преобразования принято называть  элементарными.

2) О том, что система не имеет решений, можно было сделать вывод  без использования теоремы Кронекера-Капелли, так как проведенные преобразования над матрицей соответствуют равносильным преобразованиям данной системы (метод Гаусса). Третьей строке матрицы после преобразований соответствует уравнение , которое решений не имеет, следовательно, и система не имеет решений.►

 

Решение СЛАУ при 

.

         Минором го порядка матрицы А называется любой определитель го порядка, получаемый вычеркиванием строк и столбцов.

         Рассмотрим СЛАУ. Пусть ( ), тогда любой минор го порядка матрицы системы А, отличный от нуля, называют базисным, а переменных, соответствующих этому минору, базисными. Остальные переменных называют свободными.  Оставляем в левой части соответствующих уравнений (остальные отбрасываем) и слагаемых с базисными переменными (остальные, со свободными переменными, переносим в правую часть). Преобразованную таким образом систему решаем любым способом. Получим бесконечное множество решений в виде зависимостей базисных переменных от свободных.

         

Пример. Исследовать систему и решить ее:

◄Расширенная матрица системы .

В матрицах  и только две строки (первая и вторая или первая и третья) линейно независимы, а элементы третьей строки пропорциональны элементам второй строки, то есть вторая и третья строка линейно зависимы, поэтому . Любой определитель второго порядка, то есть порядка, равного рангу, отличный от нуля, является базисным. Примем за базисный минор определитель . Тогда базисными переменными будут являться и , а остальные свободными. Обозначим их Получим систему

Бесконечное множество ее решений  можно записать:  ►