Расчет вероятностей дожития и смерти

Объектом пожизненного страхования являются имущественные интересы, связанные с дожитием до определенного возраста или срока, со смертью, с наступлением иных событий в жизни граждан.

Данным видом страхования  предусмотрены как стандартные  страховые случаи, риски для договоров  страхования жизни, так и специфические в зависимости от выбранного подвида (программы страхования).

Одновременно установлено, что все виды договоров страхования жизни входят в законодательную базу, а при расчете страховых тарифов и формировании страховых резервов должны быть использованы таблицы смертности.

 

1.2 Таблицы смертности

 

 На основании массовых данных демографической статистики и теории вероятностей выявлена подчиняющаяся закону больших чисел зависимость смертности от возраста людей, выведены соответствующие математические формулы для расчета.

По специально разработанной  методике с применением этих формул составляются таблицы смертности.

Таблица смертности - это  математическая модель, которая выдает вероятности выжить (или нет) в  течение определенного периода времени для индивидуума, достигшего некоторого заданного возраста.

Это самый совершенный  инструмент для анализа состояния  и тенденций уровня смертности. Они  представляют собой систему взаимосвязанных  показателей, характеризующих изменение  вероятности смерти по мере увеличения возраста людей, или, напротив, изменение вероятности дожития до некоторого возраста, а также среднюю продолжительность жизни некоторого поколения родившихся.

 Иначе говоря, таблицы смертности описывают последовательность и скорость вымирания поколения.

Они содержат конкретные цифры смертности для каждого  возраста

(в полных годах)  для 100 000 населения с последовательным  уменьшением доживающих при переходе  от одной возрастной группы  в другую группу, имеющую возраст  больше на 1 год.

Родиной таблицы смертности считают  город Бреславль. В 1693 году Эдмунд Галлей опубликовал труд "Оценка степени смертности человечества, выведенная из различных таблиц рождения и погребения в городе Бреславле". Таблицы смертности, названные Бреславльскими, которые содержатся в статье Галлея, по-прежнему представляют интерес из-за удивительно современной системы обозначений и понятий.

Первоначальные Бреславльские  таблицы содержали данные только о рождаемости и смертности населения, не давая точной информации о жизненности при переходе лица от одного возраста к другому. Впоследствии они неоднократно перерабатывались, в них добавлялись новые условия и значения, итогом чего стали ныне известные таблицы смертности.

Построение таблицы  смертности представляет собой один из вариантов (методов) статистического анализа надежности на основе данных типа времени жизни. 

Представим себе, что  в данном году появилось 100 000 новорожденных. Возраст человека обозначим символом х. Тогда х=0. Число лиц, доживающих до каждого возраста, принято обозначать символом l_x. Таким образом, число новорожденных l_o= 100 000. По таблице можно определить, сколько из них доживет до каждого конкретного возраста.

Из этой же таблицы  можно узнать, сколько человек  каждый год умирает. Число лиц, умирающих в течение года, т.е. при переходе от возраста х к возрасту х + 1 год, обозначим символом d_x.

 Для удобства расчетов исчисляются показатели вероятности умереть qх в течение определенного года жизни.

Вероятность умереть  в возрасте х лет, не дожив до возраста х+1 год, равна q_х= d_x / l_x, то есть частному от деления числа умирающих на число доживающих до данного возраста.

Располагая показателями вероятности умереть, страховщик с  достаточной степенью уверенности  может предположить, что в течение ближайшего года. В отдельные годы эти числа могут быть несколько большими или меньшими, но вероятность отклонений чрезвычайно мала.

Пользуясь таблицей смертности, можно узнать вероятность дожить до любого интересующего нас возраста. Она обозначается символом p_x и равняется 1- q_x, то есть на протяжении определенного периода каждый человек либо доживет, либо не доживет до его окончания, поэтому сумма вероятностей

умереть и дожить равна  единице, то есть достоверна.

Таблица смертности может  содержать показатели средней продолжительности жизни (е_х) лиц, достигших определенного возраста, при условии, что повозрастная смертность населения, которая положена в основу построения таблиц смертности, для всего периода предстоящей жизни данного поколения останется неизменной. (Пример таблицы смертности со средним значениями показателей мужского и женского населения см. Приложение 2).

Таблица показывает, сколько  лет в среднем предстоит прожить  одному человеку из числа родившихся или из числа достигших данного  возраста.

Основными в таблице смертности являются показатели вероятности умереть. Их исчисляют на основе данных переписей населения или наблюдений страхового учреждения.

  Таблицы периодически пересчитываются в связи с изменением показателей смертности населения.

Как показывает статистика, в любой стране существует дифференциация показателей смертности и продолжительности жизни отдельных групп населения (Приложение 3). Это объясняется социальной, культурной и в меньшей степени биологической неоднородностью любого населения и вытекающими отсюда различиями в воздействии факторов смертности на разные группы людей.

Процесс смертности имеет  свои особенности у мужчин и женщин. (Пример таблицы смертности для женского населения см. Приложение 4). В прошлом смертность у женщин была значительно выше, а ожидаемая продолжительность жизни ниже, чем у мужчин.

Это вызывалось приниженным  положением женщины в обществе, ее непосильным трудом, меньшей заботой  о родившихся девочках, высокой материнской смертностью и другими факторами.

Социально-экономическое развитие, коренным образом изменившее положение женщины в обществе, резко ослабило зависимость жизни женщин от действия экзогенных факторов и привело, в конечном счете, к изменению соотношения смертности мужчин и женщин. Так, для экономически развитых стран характерно устойчивое превышение мужской смертности над женской. (Пример таблицы смертности для мужского населения см. Приложение 5).

Имеет свои особенности  и процесс смертности городского и сельского населения. Так, средняя продолжительность жизни городского населения в 2000-ом году 4 раза меньше, чем у сельского.

Однако,  несмотря на сложную экономическую и экологическую ситуацию в стремительно растущих городах, относительно более высокий культурный уровень городского населения, использование им современных достижений санитарии и гигиены, лучшее медицинское обслуживание обусловливают более низкие показатели смертности в городах, чем в сельской местности уже в 2005-ом году.

Ныне наблюдается тенденция к значительному сближению показателей ожидаемой продолжительности жизни жителей городской и сельской местности.

Таким образом, средняя  ожидаемая продолжительность жизни  характеризует присущие людям биологические  закономерности старения и смерти и  особенно влияние социальных факторов: уровень и образ жизни, развитие здравоохранения, достижения медицинской науки. Величина средней продолжительности жизни свидетельствует об усилиях общества, направленных на предотвращение смертности и укрепление здоровья населения

 Все показатели (колонки) таблиц смертности:

• l _x — числа доживающих до возраста «х» лет;
• d _x — числа умирающих в возрасте «х» лет (т.е. в возрастном интервале от «х» до « х + »);
• q _x — вероятность умереть в возрасте «х» (т.е. в возрастном интервале от «х» до «х + 1»);
• р_х — вероятность для доживших до возраста «х» дожить и до следующего года возраста «х + 1»;
• L_x — числа живущих в возрасте «x» (в возрастном интервале от «х» до «х+1»;
• Т_х — числа живущих в возрасте «х» лет и старше (число человеко-лет предстоящей жизни для данного поколения);
• е _о — средняя ожидаемая продолжительность жизни для новорожденных;
• е_х — средняя ожидаемая продолжительность жизни для достигших возраста «х».

Показатели таблицы  смертности во многом зависят от нормы  доходности.

Доходность — условная месячная доходность в стоимостном выражении на ту или иную единицу физического показателя, характеризующего определенный вид страховой деятельности в различных сопоставимых условиях, которая используется для расчета величины вмененного дохода.

Простейший расчёт доходности представляет собой деление суммы  прибыли на сумму вложений и выглядит так:

    

                                                                                                         (1)

 

 

Норма доходности — в страховании процентная ставка, процент, начисляемый на резерв взносов по страхованию жизни и пенсий за использование его в качестве кредитных ресурсов. Это процентная ставка, при которой чистый дисконтированный доход (NPV) равен 0. NPV рассчитывается на основании потока платежей, дисконтированного к сегодняшнему дню.

 

Иначе говоря, для потока платежей CF, где  — платёж через лет ( ) и начальной инвестиции в размере норма доходности рассчитывается из уравнения:

                             

                                                                                                         (2)

 

Существует различная  доходность для лиц мужского и  женского населения страны.

Существует связь между  показателями нормы доходности и  данными таблицы смертности. Чем  меньше возраст страхователя (застрахованного лица), тем меньше будет его доход (табл. 1).

Таблица 1 - Таблица смертности

Норма доходности – 8%

Возраст, лет	lx	dx	Коммутационные числа
			Dx	Nx	Cx	Mx
40	88 488	722	4073,19	45 312,28	30,77	716,7
41	87 766	767	3740,7	41 239,09	30,27	685,93
42	86 999	817	3 344,34	37 498,4	29,85	655,66
43	86 182	872	3 149,16	34 065,06	29,5	625,81
44	85 310	931	2 886,39	30 915,89	29,17	596,31
45	84 379	994	2 643,42	28 029,51	28,83	567,14
46	83 385	1 058	2 418,77	25 386,09	28,42	538,31
47	82 327	1 119	2 211,19	22 967,32	27,83	509,89
48	81 208	1 174	2 019,57	20 756,13	27,03	482,06
49	80 034	1 223	1 842,94	18 736,56	26,08	455,03
50	78 811	1 266	1 680,35	16 893,62	24,99	428,95

 

Норма доходности колеблется в зависимости от возраста страхователя (застрахованного), составляя не более 13% в год. В таблице смертности со средними значениями показателей для лиц мужского и женского населения показатели нормы доходности обычно не превышают 10-ти % в год.

Достоверность и математическая точность данных таблицы смертности позволяет использовать их для расчета  нетто-ставок по видам страхования  жизни.

 На практике приходится  исчислять тарифные ставки для  различных возрастов застрахованных  лиц и сроков страхования (а также уплаты взносов и страховых выплат), что очень трудно.

 Для практических расчетов нетто-ставок при страховании жизни разработаны таблицы коммутационных чисел (табл. 2):

                   Таблица 2 - Коммутационные числа

Коммутационные числа
Dx	Nx	Cx	Mx
4073,19	45 312,28	30,77	716,7
3740,7	41 239,09	30,27	685,93
3 344,34	37 498,4	29,85	655,66
3 149,16	34 065,06	29,5	625,81
2 886,39	30 915,89	29,17	596,31
2 643,42	28 029,51	28,83	567,14
2 418,77	25 386,09	28,42	538,31
2 211,19	22 967,32	27,83	509,89
2 019,57	20 756,13	27,03	482,06
1 842,94	18 736,56	26,08	455,03
1 680,35	16 893,62	24,99	428,95

 

Коммутационные числа - технические показатели, используемые при расчете тарифных ставок по страхованию жизни для упрощения процедуры ручных вычислений.

Коммутационные числа  рассчитываются по специальным формулам на основе выбранной таблицы смертности при заданной норме доходности.