Лекции по "Общей и таможенной статистике"

В отличие  от К_Ф в линейном коэффициенте корреляции учитываются не только знаки отклонений от средних величин, но и значения самих отклонений, выраженные для сопоставимости в единицах среднего квадратического отклонения t:

  и  .

Линейный коэффициент  корреляции r представляет собой среднюю величину из произведений нормированных отклонений для x и у:

, (106) или  . (107)

Числитель формулы (107), деленный на n, представляющий собой среднее произведение отклонений значений двух признаков от их средних значений, называется коэффициентом ковариации – это мера совместной вариации факторного x и результативного y признаков:

 (108)

Недостатком коэффициента ковариации является то, что он не нормирован, в отличие от линейного коэффициента корреляции. Очевидно, что линейный коэффициент корреляции представляет собой частное от деления ковариации между х и у на произведение их средних квадратических отклонений:

.  (109)

Путем несложных математических преобразований⁷ можно получить и другие модификации формулы линейного коэффициента корреляции, например:

   , (110)  , (111)

, (112)  . (113)

Линейный коэффициент  корреляции может принимать значения от –1 до +1, причем знак определяется в  ходе решения. Например, если , то r по формуле (110) будет положительным, что характеризует прямую зависимость между х и у, в противном случае (r<0) – обратную связь. Если , то r=0, что означает отсутствие линейной зависимости между х и у, а при r=1 – функциональная зависимость между х и у. Следовательно, всякое промежуточное значение r от 0 до 1 характеризует степень приближения корреляционной связи между х и у к функциональной. Существует эмпирическое правило (шкала Чэддока) для оценки тесноты связи, представленное в таблице 34.

Таблица 34. Шкала Чэддока

| r |	Теснота связи
менее 0,1	отсутствует линейная связь
0,1 ÷ 0,3	слабая
0,3 ÷ 0,5	умеренная
0,5 ÷ 0,7	заметная
более 0,7	сильная (тесная)

Таким образом, коэффициент  корреляции при линейной зависимости  служит как мерой тесноты связи, так и показателем, характеризующим  степень приближения корреляционной зависимости между х и у к линейной. Поэтому близость значения r к 0 в одних случаях может означать отсутствие связи между х и у, а в других свидетельствовать о том, что зависимость не линейная.

В нашей задаче для  расчета r построим вспомогательную таблицу 35.

Таблица 35. Вспомогательные расчеты линейного коэффициента корреляции

№ месяца	x	y			tx	ty	tx ty		xy
1	27,068	172,17	90,897	4422,782	-1,993	-2,408	4,799	634,049	4660,298
2	29,889	200,90	45,064	1426,875	-1,403	-1,368	1,919	253,577	6004,700
3	34,444	231,83	4,657	46,840	-0,451	-0,248	0,112	14,769	7985,153
4	33,158	232,10	11,861	43,217	-0,720	-0,238	0,171	22,641	7695,972
5	37,755	233,40	1,329	27,815	0,241	-0,191	-0,046	-6,081	8812,017
6	37,554	236,99	0,906	2,836	0,199	-0,061	-0,012	-1,603	8899,922
7	37,299	246,53	0,486	61,717	0,146	0,284	0,041	5,476	9195,322
8	40,370	253,62	14,198	223,383	0,788	0,541	0,426	56,317	10238,639
9	37,909	256,43	1,708	315,276	0,273	0,643	0,176	23,207	9721,005
10	38,348	261,89	3,049	538,983	0,365	0,841	0,307	40,535	10042,958
11	39,137	259,36	6,426	427,911	0,530	0,749	0,397	52,439	10150,572
12	46,298	278,87	94,012	1615,718	2,027	1,455	2,950	389,740	12911,123
Итого	439,229	2864,09	274,594	9153,353			11,241	1485,066	106317,681

В нашей задаче: = = 4,784; = = 27,618.

Тогда линейный коэффициент  корреляции по формуле (106): r = 11,241/12  =  0,937.

Аналогичный результат получаем по формуле (107):

r = 1485,066/(12*4,784*27,618) = 0,937

Или по формуле (110):

r = (106317,681/12 – 36,602*238,674) / (4,784*27,618) = 0,937.

Найденное значение свидетельствует  о том, что связь между величиной  стоимостного внешнеторгового товарооборота и величиной таможенных платежей в федеральный бюджет очень близка к функциональной (сильная по шкале Чэддока).

Проверка коэффициента корреляции на значимость (существенность). Интерпретируя значение коэффициента корреляции, следует иметь в виду, что он рассчитан для ограниченного числа наблюдений и подвержен случайным колебаниям, как и сами значения x и y, на основе которых он рассчитан. Другими словами, как любой выборочный показатель, он содержит случайную ошибку и не всегда однозначно отражает действительно реальную связь между изучаемыми показателями. Для того, чтобы оценить существенность (значимость) самого r и, соответственно, реальность измеряемой связи между х и у, необходимо рассчитать среднюю квадратическую ошибку коэффициента корреляции σ_r. Оценка существенности (значимости) r основана на сопоставлении значения r с его средней квадратической ошибкой: .

Существуют некоторые  особенности расчета σ_r в зависимости от числа наблюдений (объема выборки) – n.

1. Если число наблюдений достаточно велико (n>30), то σ_r рассчитывается по формуле (114):

. (114)

Обычно, если >3, то r считается значимым (существенным), а связь – реальной. Задавшись определенной вероятностью, можно определить доверительные пределы (границы) r = ( ), где t – коэффициент доверия, рассчитываемый по интегралу Лапласа (см. Приложение 11).

2. Если число наблюдений небольшое (n<30), то σ_r рассчитывается по формуле (115):

, (115)

а значимость r проверяется на основе t-критерия Стьюдента, для чего определяется расчетное значение критерия по формуле (116) и сопоставляется c t_ТАБЛ.

. (116)

Табличное значение t_ТАБЛ находится по таблице распределения t-критерия Стьюдента (см. Приложение 9) при уровне значимости α=1-β и числе степеней свободы ν=n–2. Если t_РАСЧ> t_{ТАБЛ ,} то r считается значимым, а связь между х и у – реальной. В противном случае (t_РАСЧ< t_ТАБЛ) считается, что связь между х и у отсутствует, и значение r, отличное от нуля, получено случайно.

В нашей задаче число  наблюдений небольшое, значит, оценивать  существенность (значимость) линейного коэффициента корреляции будем по формулам (115) и (116):

= 0,349/3,162 = 0,110; = 0,937/0,110 = 8,482.

Из приложения 9 видно, что при числе степеней свободы ν = 12 – 2 = 10 (в 10-й строке) и вероятности β = 95% (уровень значимости α =1 – β = 0,05) t_табл=2,2281, а при вероятности 99% (α=0,01) t_табл=3,169, значит, t_РАСЧ > t_ТАБЛ, что дает возможность считать линейный коэффициент корреляции r = 0,937 значимым.

4. Применение  методов регрессионного анализа 

5. Подбор  уравнения регрессии⁸ представляет собой математическое описание изменения взаимно коррелируемых величин по эмпирическим (фактическим) данным. Уравнение регрессии должно определить, каким будет среднее значение результативного признака у при том или ином значении факторного признака х, если остальные факторы, влияющие на у и не связанные с х, не учитывать, т.е. абстрагироваться от них. Другими словами, уравнение регрессии можно рассматривать как вероятностную гипотетическую функциональную связь величины результативного признака у со значениями факторного признака х.

Уравнение регрессии  можно также назвать теоретической линией регрессии. Рассчитанные по уравнению регрессии значения результативного признака называются теоретическими. Они обычно обозначаются или (читается: «игрек, выравненный по х») и рассматриваются как функция от х, т.е. = f(x).

Найти в каждом конкретном случае тип функции, с помощью  которой можно наиболее адекватно  отразить ту или иную зависимость между признаками х и у, — одна из основных задач регрессионного анализа. Выбор теоретической линии регрессии часто обусловлен формой эмпирической линии регрессии; теоретическая линия как бы сглаживает изломы эмпирической линии регрессии. Кроме того, необходимо учитывать природу изучаемых показателей и специфику их взаимосвязей.

Для аналитической связи между х и у могут использоваться виды уравнений, приведенные в таблице 28 (при условии замены t на x). Обычно зависимость, выражаемую уравнением прямой, называют линейной (или прямолинейной), а все остальные — криволинейными зависимостями.

Выбрав тип функции (таблица 28), по эмпирическим данным определяют параметры уравнения. При этом отыскиваемые параметры должны быть такими, при которых рассчитанные по уравнению теоретические значения результативного признака были бы максимально близки к эмпирическим данным.

Существует несколько  методов нахождения параметров уравнения регрессии. Наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК). Его суть заключается в следующем требовании: искомые теоретические значения результативного признака должны быть такими, при которых бы обеспечивалась минимальная сумма квадратов их отклонений от эмпирических значений, т.е.

.

Поставив данное условие, легко определить, при каких значениях a₀, a₁ и т.д. для каждой аналитической кривой эта сумма квадратов отклонений будет минимальной. Данный метод уже использовался нами в теме 6 «Статистическое изучение динамики ВЭД», поэтому, воспользуемся формулой (94) для нахождения параметров теоретической линии регрессии, заменив параметр t на x:

 (117)

Выразив из первого уравнения  системы (117) a₀, получим⁹:

. (118)

Подставив (118) во второе уравнение системы (117), затем, разделив обе его части на n, получим:

. 

Применяя 3 раза формулу  средней арифметической, получим: . 

Раскрыв скобки и перенеся члены без a₁ в правую часть уравнения, выразим a₁:

  . (119)

Параметр a₁ в уравнении линейной регрессии называется коэффициентом регрессии, который показывает на сколько изменяется значение результативного признака y при изменении факторного признака x на единицу.

Исходные данные и  расчеты для нашего примера представим в таблице 36.

Таблица 36. Вспомогательные расчеты для нахождения уравнения регрессии

№ п/п	x	y	x2	xy
1	27,068	172,17	732,677	4660,298	187,124	223,612	2657,453
2	29,889	200,90	893,352	6004,700	202,377	2,181	1317,497
3	34,444	231,83	1186,389	7985,153	227,006	23,274	136,153
4	33,158	232,10	1099,453	7695,972	220,052	145,147	346,774
5	37,755	233,40	1425,440	8812,017	244,908	132,441	38,864
6	37,554	236,99	1410,303	8899,922	243,821	46,669	26,495
7	37,299	246,53	1391,215	9195,322	242,443	16,706	14,202
8	40,370	253,62	1629,737	10238,639	259,048	29,459	415,076
9	37,909	256,43	1437,092	9721,005	245,741	114,256	49,940
10	38,348	261,89	1470,569	10042,958	248,115	189,761	89,122
11	39,137	259,36	1531,705	10150,572	252,381	48,710	187,871
12	46,298	278,87	2143,505	12911,123	291,100	149,580	2748,498
Итого	439,229	2864,09	16351,437	106317,681	2864,115	1121,795	8027,945