Лекции по "Общей и таможенной статистике"

По формуле (119): = 5,407.

По формуле (118): a₀ = 238,674 – 5,407*36,602 = 40,767.

Отсюда получаем уравнение  регрессии: =40,767+5,407x, подставляя в которое вместо x эмпирические значения факторного признака (2-й столбец таблицы 36), получаем выравненные по прямой линии теоретические значения результативного признака (6-й столбец таблицы 36)¹⁰. Для иллюстрации различий между эмпирическими и теоретическими линиями регрессии построим график (рисунок 6).

Рис.6. График эмпирической и теоретической линий регрессии

Из рисунка 6 видно, что небольшие различия между эмпирической и теоретической линиями регрессии существуют, поэтому необходимо оценить существенность коэффициента регрессии и уравнения связи, для чего определяют среднюю ошибку параметров уравнения регрессии и сравнивают их с этой ошибкой.

Расчет ошибок параметров уравнения регрессии основан  на использовании остаточной дисперсии, характеризующей расхождение (отклонение) между эмпирическими и теоретическими значениями результативного признака. Для линейного уравнения регрессии ( ) средние ошибки параметров a₁ и a₂  определяются по формулам (120) и (121) соответственно:

, (120)  , (121)  . (122)

Значимость параметров проверяется путем сопоставления его значения со средней ошибкой. Обозначим это соотношение как t:

, (123)

При большом числе  наблюдений (n>30) параметр a_i считается значимым, если >3.

Если выборка малая (n<30), то значимость параметра a_i проверяется путем сравнения с табличным значения t-критерия Стьюдента при числе степеней свободы ν=n-2 и заданном уровне значимости α (Приложение 9). Если рассчитанное по формуле (123) значение больше табличного, то параметр считается значимым.

В нашем примере по формуле (122): = 9,669.

Находим среднюю ошибку параметра a₀ по формуле (120): = 3,06.

Теперь находим среднюю  ошибку параметра a₁ по формуле (121): =0,639.

Теперь по формуле (123) для параметра a₀: =13,3.

И по той же формуле  для параметра a₁: =8,46.

Так как выборка малая, то задавшись стандартной значимостью α=0,05 находим в 10-й строке Приложения 9 табличное значение t_α=2,23, которое значительно меньше полученных значений 13,3 и 8,46, что свидетельствует о значимости обоих параметров уравнения регрессии.

Наряду с проверкой  значимости отдельных параметров осуществляется проверка значимости уравнения регрессии в целом или, что то же самое, проверка адекватности модели с помощью критерия Фишера по Приложению 8. Данный метод уже использовался нами для проверки адекватности уравнения тренда в предыдущей теме, поэтому воспользовавшись формулой (96) в нашем примере получим¹¹:

Сравнивая расчетное  значение критерия Фишера F_р = 71,56 с табличным F_т = 4,96, определяемое по Приложению 8 при числе степеней свободы ν₁ = k – 1 = 2 –1 = 1 и ν₂ = n – k = 12 – 2 = 10 (т.е. 1-й столбец и 10-я строка) и стандартном уровне значимости α = 0,05, можно сделать вывод, что уравнение регрессии значимо.

5. Коэффициент  эластичности

 

6. Коэффициент  эластичности показывает, на сколько процентов изменяется в среднем результативный признак y при изменении факторного признака x на 1%. Он рассчитывается на основе уравнения регрессии:

, (124)

где – первая производная уравнения регрессии y по x.

Коэффициент эластичности – величина переменная, т.е. изменяется с изменением значений фактора x. Так, для линейной зависимости :

. (125)

Применительно к рассмотренному уравнению регрессии, выражающему  зависимость величины таможенных платежей в федеральный бюджет от величины стоимостного внешнеторгового оборота ( = 40,767 + 5,407x), коэффициент эластичности по формуле (125): . 

Подставляя в данное выражение разные значения x, получаем и разные значения Э. Так, например, при x = 40 коэффициент эластичности = 0,84, а при x = 50 соответственно = 0,87 и т.д. Это значит, что при увеличении внешнеторгового товарооборота x с 40 до 40,4 млрд.долл. (т.е. на 1%), величина таможенных платежей возрастет в среднем на 0,84% прежнего уровня; при увеличении x с 50 до 50,5 млрд.долл. (т.е. на 1%) y возрастет на 0,87% и т.д.

6. Особенности коррелирования рядов  динамики

Во многих исследованиях  в таможенной статистике приходится изучать динамику нескольких показателей одновременно, т.е. рассматривать параллельно несколько рядов динамики. В этом случае возникает необходимость измерить зависимость между ними, вернее, определить, насколько изменения уровней одного ряда зависят от изменения уровней другого ряда. Эта задача решается путем коррелирования рядов динамики.

Однако при этом возникает  следующая проблема: если показатели  ряда  x и ряда y рассматривать как функцию времени, т.е. x = f(t) и y = f(t), то при однонаправленности их трендов можно получить большое значение коэффициента корреляции между x и y даже тогда, когда они независимы, именно в силу однонаправленности их изменения.

Поэтому, прежде чем коррелировать  ряды динамики, необходимо установить путем логического (качественного) анализа, возможна ли связь между исследуемыми показателями x и y. Кроме того, одно из условий корреляции – независимость отдельных значений переменных множества x, так же как и множества y. Для рядов динамики это равнозначно отсутствию автокорреляции между уровнями ряда, т.е. отсутствию зависимости между последовательными (соседними) уровнями ряда динамики. Другими словами, прежде чем коррелировать ряды динамики, необходимо проверить каждый ряд на автокорреляцию.

Если исходные фактические уровни ряда, относящиеся к определенному моменту (периоду) времени t, обозначить через y_t, то сдвинутые на один момент (период) уровни обозначают y_t-1. Тогда, подставив в формулу коэффициента корреляции (110) значения y_t и y_t-1, получим формулу:

, (126)

а поскольку  и , получим следующие формулы¹² для расчета коэффициента автокорреляции:

, (127)  или   . (128)

Сдвинутый (укороченный) ряд условно дополняют, принимая y₁ = y_n (чтобы сдвинутый ряд не укорачивался и чтобы средний уровень и дисперсия исходного и сдвинутого рядов были одинаковы).

Найденное по формуле (127) или (128)¹³ значение коэффициента автокорреляции само по себе еще не говорит о наличии или отсутствии автокорреляции. Его нужно сравнить с критическим.

Существуют специальные  таблицы, в которых для разного  числа членов ряда n и разных уровней значимости α определено критическое значение коэффициента автокорреляции: если найденное по формуле (127) или (128) значение окажется меньше критического, то автокорреляция отсутствует. Одна из таких таблиц, составленная Р. Андерсоном, приведена в Приложении 10.

Таблица 37. Вспомогательные расчеты для проверки на автокорреляцию

Месяц	xt	xt-1	xt xt-1	xt2	yt	yt-1	yt yt-1	yt2
1	27,068	46,298	1253,194	732,677	172,170	278,870	48013,048	29642,509
2	29,889	27,068	809,035	893,352	200,900	172,170	34588,953	40360,810
3	34,444	29,889	1029,497	1186,389	231,830	200,900	46574,647	53745,149
4	33,158	34,444	1142,094	1099,453	232,100	231,830	53807,743	53870,410
5	37,755	33,158	1251,880	1425,440	233,400	232,100	54172,140	54475,560
6	37,554	37,755	1417,851	1410,303	236,990	233,400	55313,466	56164,260
7	37,299	37,554	1400,727	1391,215	246,530	236,990	58425,145	60777,041
8	40,370	37,299	1505,761	1629,737	253,620	246,530	62524,939	64323,104
9	37,909	40,370	1530,386	1437,092	256,430	253,620	65035,777	65756,345
10	38,348	37,909	1453,734	1470,569	261,890	256,430	67156,453	68586,372
11	39,137	38,348	1500,826	1531,705	259,360	261,890	67923,790	67267,610
12	46,298	39,137	1811,965	2143,505	278,870	259,360	72327,723	77768,477
Итого	439,229	439,229	16106,951	16351,437	2864,090	2864,090	685863,823	692737,647

В нашем примере про  внешнеторговый оборот и таможенные платежи проверим оба эти ряда динамики на автокорреляцию с помощью формулы (127), для чего построим вспомогательную таблицу 37.

Теперь по формуле (127) для ряда x: r_a = = 0,111.

Аналогично по формуле (127) для ряда y: r_a = = 0,249.

По таблице Приложения 10 определяем критическое (предельное) значение коэффициента корреляции для числа уровней n = 12 и уровне значимости α = 0,05. Оно равно 0,348. Оба рассчитанных значения оказались меньше критического, значит автокорреляция между уровнями в обоих рядах динамики отсутствует, следовательно, можно коррелировать уровни x и y.

Исключение  автокорреляции в рядах динамики. Если между уровнями ряда (при коррелировании рядов динамики) существует автокорреляция, она должна быть устранена.  Есть несколько способов исключения автокорреляции в рядах динамики. Наиболее простой – коррелирование отклонений от выравненных уровней. Для этого каждый ряд динамики выравнивают по определенной для него аналитической формуле (т.е. находят и )¹⁴, затем из эмпирических уровней вычитают выравненные (т.е. находят остаточные величины¹⁵, не описываемые уравнением тренда: и ).  Так как остаточные величины могут содержать автокорреляцию (например, в случае недостаточно точно подобранного уравнения тренда), необходимо убедиться, что между ними автокорреляция отсутствует. Лишь после этого можно определять тесноту связи между d_x и d_y. Формулу коэффициента корреляции между остаточными величинами можно записать в следующем виде:

. (129)

 Контрольные вопросы

1. Виды взаимосвязей между признаками.
2. Методы выявления наличия корреляционной взаимосвязи между признаками.
3. Методы оценки тесноты взаимосвязи между признаками.
4. Применение методов регрессионного анализа.
5. Коэффициент эластичности.
6. Особенности коррелирования рядов динамики.
7. Понятие автокорреляции, ее исключение.

¹ ad valorem (лат.) – «от стоимости»

² Проявление стохастических связей подвержено действию закона больших чисел: лишь в достаточно большом числе единиц индивидуальные особенности сгладятся, случайности взаимопогасятся и зависимость, если она имеет существенную силу, проявится достаточно отчетливо

³ Термин «стохастический» происходит от греч. «stochos» – мишень. Стреляя в мишень, даже хороший стрелок редко попадает в ее центр, выстрелы ложатся в некоторой близости от него. Другими словами стохастическая связь означает приблизительный характер значений признака

⁴ Термин «корреляция» ввел в статистику английский биолог и статистик Ф. Гальтон в конце XIX в., под которым понималась «как бы связь», т.е. связь в форме, отличающейся от функциональной. Еще ранее этот термин применил француз Ж.Кювье в палеонтологии, где под законом корреляции частей животных он понимал возможность восстановить по найденным в раскопках частям облик всего животного

⁵ Множественная корреляция изучается в курсе эконометрики на основе применения компьютерных программ (напр., специальная надстройка к Excel, SPSS и др.), в курсе статистики изучается только парная корреляция

⁶ При измерении тесноты связи между рядами динамики это равнозначно отсутствию автокорреляции между уровнями ряда, т.е. прежде чем оценивать тесноту связи между рядами динамики, необходимо проверить каждый ряд на автокорреляцию – см. методические указания

⁷ Проделать это самостоятельно

⁸ Термин «регрессия» ввел в статистику Ф. Гальтон, который изучив большое число семей, установил, что в группе семей с высокорослыми отцами сыновья в среднем ниже ростом, чем их отцы, а в группе семей с низкорослыми отцами сыновья в среднем выше отцов, т.е. отклонение роста от среднего в следующем поколении уменьшается – регрессирует

⁹ Параметры a₀ и a₁ можно получить не только методом подстановки как приводится далее, но и методом определителей  2-го порядка (проделать данное задание самостоятельно)

¹⁰ Сумма эмпирических (2864,09) и выравненных по прямой линии (2864,115) значений должна совпадать, но в нашем случае этого не происходит из-за округлений расчетов до 3-х знаков после запятой

¹¹ В числителе – сумма последнего столбца, а в знаменателе – сумма предпоследнего столбца таблицы 36

¹² Коэффициент автокорреляции можно рассчитывать либо между соседними уровнями, либо между уровнями, сдвинутыми на другое число единиц времени (временной лаг) m; приведенные формулы с временным лагом m=1 (между соседними уровнями) являются самыми распространенными

¹³ Формула (128) является тождественной формуле (127)

¹⁴ См. тему 6 «Статистическое изучение динамики ВЭД на основе данных таможенной статистики», метод аналитического выравнивания

¹⁵ Остаточные величины обычно обозначают ε_t, но для того, чтобы различать их для разных рядов динамики x и y, приняты обозначения d_x и d_y