Страхование жизни

СФ=80 494Ч100=8 049 400 руб.

 

4. С учетом того, что средства страхового фонда используются страховщиком в качестве кредитных ресурсов (финансовых инвестиций), он в начале срока страхования уменьшается из расчета, что каждый год на него будут нарастать 5 сложных процентов годового дохода. Современная его стоимость, т.е. на начало срока страхования (СФ_совр), рассчитывается с помощью дисконтирующего множителя (таблица 2). Ставке 5% соответствует множитель V⁴=0,823. Размер страхового фонда равняется:

СФ=8 049 400Ч0,823=6 624 656 руб.

Эту сумму  необходимо собрать со всех страхователей.

5. В расчете на одного страхователя данный фонд соответствует платежу (взносу) каждого участника страхования (Т_н):

 

;

 руб.,

 

где 84 508 – число лиц, вступивших в страхование в возрасте 40 лет (таблица 1).

 

Таким образом, платеж каждого страхователя (78,39) составляет меньшую величину в сравнении  с размером страхового обеспечения (100 руб.) и отражает эффективность  страхования.

Рассчитанная  величина единовременного платежа  представляет собой единовременную нетто-ставку и выражается в виде следующей логической формулы:

 руб.,

 

где - единовременная нетто-ставка по страхованию на дожитие для лица в возрасте x лет, при сроке страхования n лет;

I_x+n – число лиц, доживших до окончания срока страхования;

I_n – число лиц, заключивших договоры страхования в возрасте x лет;

Vⁿ – дисконтирующий множитель;

100 руб.  – единица измерения страховой  суммы, представляющая специальный  технический прием в актуарных  расчетах.

 

Данная  формула соответствует основным методическим положениям установления цены страхового риска. Вероятность  страхового случая – дожитие до определенного возраста – определяется соотношением:

 

.

 

Поправочный коэффициент k отсутствует, а вернее, он равен 1, так как соотношение средней выплаты и средней страховой суммы в долгосрочном страховании равно единице, исходя из условия, что страховой обеспечение всегда соответствует страховой сумме, указанной в договоре.

 

Исключение  в методических подходах расчета  нетто-ставки на дожитие, как и в  других видах долгосрочного страхования  жизни, составляет применение дисконтирующего  множителя, что отражает одну из особенностей соответствующих актуарных расчетов.

Логическая  формула расчета единовременной нетто-ставки на дожитие позволяет  установить следующие факторы, влияющие на ее уровень:

• Срок страхования, который по мере его увеличения обусловливает снижение нетто-ставки, так как возрастает доход от процентов при длительном инвестировании средств страхователей, аккумулированных в страховом фонде, и уменьшается число доживающих до окончания срока;
• Возраст страхователя (застрахованного лица), т.е. чем он моложе, тем дороже ему обойдется договор страхования на дожитие, так как высокая вероятность молодых людей дожить до определенного возраста обусловливает большее число доживших и соответствующие им выплаты страхового обеспечения;
• Процентная ставка дохода по финансовому инвестированию, которая по мере ее роста обеспечивает высокие суммы процентного дохода и соответствующее снижение уровня нетто-ставки.

 

 

 

 

2. Расчет нетто-ставки по страхованию на случай смерти

 

Формула расчета единовременной нетто-ставки по страхованию на случай смерти (на определенный срок) базируется на основных принципах установления тарифов: вероятности  страхового случая и эквивалентности  финансовых взаимоотношений страховщика  со страхователями.

Теоретическое ее обоснование характеризуется  следующими логическими рассуждениями, исходя из конкретного цифрового  примера.

1. Условия договора страхования на случай смерти лица в возрасте лет (x=40), сроком 4 года (n=4) предусматривают выплату страхового обеспечения выгодоприобретателю в размере страховой суммы 100 руб. (S=100).
2. Исходя из цифрового примера по страхованию на дожитие, ставка процентного дохода устанавливается на уровне 5% годовых (i=5), что отражается в соответствующих дисконтирующих множителях (таблица 3).

 

Таблица 3 – Исходные данные по расчету нетто-ставки на случай смерти (x=40, n=4, i=5).

Возраст страхователя, x лет	Число доживших до возраста x лет, lx	Число умерших в возрасте x лет, dx	Дисконтирующий множитель для i=5%
40	84 508	930	0,952
41	83 578	975	0,907
42	82 604	1025	0,864
43	81 574	1084	0,823
44	80 494	1148	0,784

 

3. При страховании лиц в возрасте 40 лет на 4 года страховщику предстоит выплатить в случае ежегодной смерти определенное количество страховых сумм. Это количество выплат определяется по таблице смертности в соответствии с числом умерших каждый год в течение всего срока (таблица 3). Общее число умерших за 4 года составит 4014 чел. (930+975+1025+1084) – это и будет количество выплат страховых сумм. Поскольку страховая сумма по каждому договору составляет 100 руб. (S=100), страховой фонд определяется как сумма произведений количества ежегодных выплат на страховую сумму:

 

СФ=(d_x+d_x+1+d_x+2+d_x+3)ЧS;

СФ=(930+975+1025+1084)Ч100=401 400 руб.

 

4. Страховой фонд в начале срока страхования уменьшается с учетом того, что каждый год на него будут нарастать сложных процентов годового дохода. Современная его стоимость рассчитывается с помощью дисконтирующих множителей, т.е. число умерших на каждом году страхования, взятое из таблицы смертности, умножается на соответствующий множитель, страховую сумму, и полученные ежегодные стоимости суммируются:

 

СФ_СОВР=(930Ч0,952+975Ч0,907+1025Ч0,864+1084Ч0,823) Ч100=354 800 руб.

 

Эту сумму  необходимо собрать со всех страхователей  при заключении договоров.

5. В расчете на одного страхователя данный фонд соответствует платежу каждого участника страхования (Т_Н):

 

;

 руб.

Таким образом, страховая сумма составляет 100 руб., а ее современная стоимость –  всего лишь 4,2 руб. При выплате  по случаю смерти страхователя (застрахованного) недостающие средства перераспределяются из взносов тех лиц, которые дожили до окончания срока страхования.

В результате обобщения этой последовательности расчета формула единовременной нетто-ставки по страхованию на случай смерти представляется в следующем  виде:

 

 руб.,

 

где - е6диновременная нетто-ставка по страхованию на случай смерти для лица в возрасте x лет при сроке страхования n лет;

d_x, d_x+1,..., d_x+n-1 – число лиц, умирающих на каждом году страхования;

I_X – число лиц, заключивших договоры страхования в возрасте x лет;

V¹, V², ..., Vⁿ – дисконтирующие множители по годам страхования;

100 руб.  – единица измерения страховой  суммы, представляющая специальный  технический прием в актуарных  расчетах.

 

Данная  формула соответствует основным методическим положениям установления цены страхового риска (рисунок 2). Вероятность  страхового случая – умереть в  течение предстоящего года жизни  – отражается соотношениями:

 

 и т.д.

 

3. Определение нетто-ставки по страхованию пенсий (ренты)

 

Страхование пенсий представляет собой по своей  сути последовательно повторяемое  страхование на дожитие, при котором  страховое обеспечение выплачивается  в виде регулярного дохода (ренты) в течение долгосрочного периода  времени.

При установлении единовременной нетто-ставки по страхованию  пенсий (ренты) применяются основные принципы тарификации страховых  рисков и следующее теоретическое  обоснование.

1) страховщик  обязуется выплачивать страхователю  в течение всей его жизни  определенные регулярные суммы.  Эти выплаты должны производиться  с первого года страхования  (немедленно) в начале каждого  года, т.е. предварительно на предстоящий  год. Предварительные платежи,  производимые в течение долгосрочного  периода времени, называются платежами  пренумерандо. Тем самым страхование  пенсии (ренты) осуществляется на  основе трех главных условий:

• Срока выплаты страховой ренты;
• Начала момента выплаты первой части ренты;
• Уплаты регулярного дохода предварительными или последующими платежами.

Данный  пример условий страхования характеризует  вид страхования – страхование  пожизненной немедленной пенсии (ренты) пренумерандо.

2) исходя  из данных таблицы смертности  устанавливается, что договоры  заключили все лица в возрасте  x лет (I_X) на весь период жизни w лет (w – предельный возраст по таблице смертности). Предположив, что размер регулярного годового дохода составляет 1 руб., рассчитывается размер первой выплаты ренты как произведение количества выплат и ее стоимости:

 

В₁=I_XЧ1 руб.

Стоимость второй выплаты, осуществляемой во 2-ой год страхования, определяется с  учетом дисконтирующего множителя (современная стоимость выплаты):

 

В₂=I_X+1ЧV¹Ч1 руб.

 

Таким же способом устанавливаются выплаты  в последующие годы, и общая  их сумма будет представлять собой  современную стоимость страхового фонда, который необходимо сформировать в начале срока страхования. Его  размер составляет:

 

СФ_СОВР=I_X+I_X+1ЧV¹+I_X+2ЧV²+...I_wЧV^w-x,

 

где I_wЧV^w-x – последний регулярный доход, выплачиваемый при пожизненном страховании пенсии.

 

3) В соответствии  с принципом эквивалентности  финансовых взаимоотношений (ПóВ) страховые платежи (премии по договорам) рассчитываются исходя из величины страхового фонда (СВ_СОВР), приходящегося на одного страхователя. Это и представляет собой единовременную нетто-ставку по страхованию пожизненной немедленной пенсии пренумерандо ( ):

 

 руб.

 

4) Если  пенсия (рента) выплачивается не  пожизненно, а в течение определенного  числа лет и с первого года  страхования в начале каждого  года, то называется срочной немедленной  пенсией (рентой) пренумерандо. Единовременная  нетто-ставка рассчитывается исходя  из предыдущего теоретического  логического обоснования, но с  указанием срока страхования  – n лет.

 

 руб.

 

Следующей разновидностью страхования пенсии (ренты) является страхование на условиях последующих платежей регулярного  дохода, т.е. в конце каждого года страхования. Последующие платежи, проводимые в течение долгосрочного  периода времени, называются платежами  постнумерандо.

В соответствии с условиями страхования выплаты  пенсии (ренты) постнумерандо осуществляются пожизненно или в течение определенного  срока. Теоретическое обоснование  вывода логической формулы расчета  единовременной нетто-ставки заключается  в следующем.

1. На основе данных таблицы смертности определяется количество выплат пенсии, которое соответствует числу страхователей I_X на весь период их жизни на w лет. При условии размера каждой выплаты 1 руб., производимой в конце года, современная стоимость первой выплаты для всех страхователей рассчитывается с учетом дисконтирующего множителя V¹:

 

В₁=I_X+1ЧV¹Ч1 руб.

 

Вторая  выплата и последующие пенсии определяются:

 

В₂=I_X+2ЧV²Ч1 руб.

В₃=I_X+3ЧV³Ч 1 руб. и т.д.

В_W=I_WЧV^W-XЧ1 руб.

б) Сумма  современных стоимостей ежегодных  выплат представляет собой страховой  фонд, который необходимо собрать  со всех страхователей (СФ_СОВР). В расчете на одного страхователя данный фонд соответствует размеру единовременной нетто-ставки по страхованию пожизненной немедленной пенсии (ренты) постнумерандо ):