Этапы экономико-математического моделирования

Результаты каждого  цикла моделирования могут иметь  самостоятельное значение. Начав  исследование с построения простой  модели, можно получить полезные результаты, а затем перейти к созданию более сложной и более совершенной модели, включающей новые условия и более точные математические зависимости.

 

Весь процесс эконометрического  моделирования можно разделить  на шесть основных этапов:

• постановочный (на этом этапе формируется цель исследования, определяется набор участвующих в модели экономических переменных);
• априорный (проводится анализ экономической ущности изучаемого объекта, формирование и формализация известной до начала исследования (априорной) информации);
• параметризация (осуществляется непосредственно моделирование, т.е. выбор общего вида модели, в том числе состава переменных и формы их связи);
• информационный (собирается необходимая статистическая информация – наблюдаемые значения экономических переменных);
• идентификация модели (на этом этапе проводится статистический анализ модели и оценка ее параметров);
• верификация модели (проверяется истинность, адекватность модели, т.е. соответствие моделируемому реальному экономическому объекту).

На первых трех этапах весьма важной  является проблема спецификации модели, включающая выражение в математической форме выявленных связей и соотношений, установление состава объясняющих переменных (в том числе и лаговых), формулировка исходных предпосылок и ограничений модели и ряд других вопросов. Спецификация опирается на имеющиеся экономические теории, специальные знания, а также на интуитивные представления об анализируемом экономическом объекте.

От проблемы идентификации  модели (которая заключается в  выборе и реализации методов статистического оценивания ее неизвестных параметров) следует отличать проблему ее идентифицируемости, т.е. проблему возможности получения однозначно определенных параметров модели, заданной системой одновременных уравнений.

 

 

91. Использование временных рядов в экономических расчетах

 

Статистическое  описание движения во времени экономических явлений осуществляется с помощью временных рядов.

Временной (динамический)ряд – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень состояния и изменения изучаемого явления. Условием правильного формирования временных рядов является сопоставимость уровней, образующих ряд. Уровни ряда, подлежащие изучению, должны быть однородны по экономическому содержанию и учитывать существо изучаемого явления и цель исследования.

Временной ряд рассматривается  как сумма четырех компонент, которые непосредственно не могут быть измерены (ненаблюдаемые компоненты): тренд, циклическая и сезонная составляющие, случайные колебания.

Важным направлением в исследовании закономерностей динамики социально-экономических процессов является изучение общей тенденции развития (тренда).

Тренд – длительная тенденция  изменения показателей временного ряда, на которую могут накладываться другие составляющие.

Тенденция развития – некоторое общее направление развития или долговременная эволюция.

Важной задачей моделирования  динамических рядов является выявление наличия, характера и направления тенденции развития изучаемого социально-экономического явления или процесса. Разделяя точку зрения Гранберга А.Г., Четыркина Е.М., Гамбарова Г.М. и др., будем считать тренд детермированной составляющей динамики развития, определяемой влиянием постоянно действующих факторов. Предположим, что, рассматривая любое явление как функцию времени, можно выразить влияние всех основных факторов.

Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием факторов, которые можно условно разделить на три группы: факторы, формирующие тенденцию ряда; факторы, формирующие циклические колебания ряда; случайные факторы.

В большинстве случаев  фактический уровень временного ряда можно представить как сумму  или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда.

Основная задача исследования и моделирования временного ряда – выявление и придание количественного описания каждой из перечисленных компонент.

 

Временным рядом (динамическим рядом) называется набор значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда.

В общем виде при исследовании экономических процессов временного ряда выделяются несколько составляющих:

где u_t, - тренд, v_t, - сезонная компонента, с_t, - циклическая компонента, е_t, - случайная компонента.

Стационарные временные ряды.

Важное значение в  анализе временных рядов имеют  стационарные временные ряды, вероятностные  свойства которых не изменяются во времени. Временной ряд  называется строго стационарным, если совместное распределение вероятностей n наблюдений такое же, как и n наблюдений при любых n, t, и τ. Таким образом, свойства строго стационарных рядов не зависят от момента времени t.

Степень тесноты связи  между последовательностями наблюдений временного ряда и можно оценить с помощью выборочного коэффициента корреляции r(τ):

Так как он оценивает  корреляцию между уровнями одного и  того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции.

Функция r(τ) называется выборочной автокорреляционной функцией, а ее график – коррелограммой.

Кроме автокорреляционной функции при исследовании стационарных временных рядов рассматривают частную автокорреляционную функцию. Статистической оценкой частного коэффициента корреляции является выборочный частный коэффициент корреляции (или просто частный коэффициент корреляции).

где r_ij,r_jk,r_jk- выборочные коэффициенты корреляции.

Так, выборочный частный  коэффициент автокорреляции 1-го порядка  между членами временного ряда y_t, и у_t+2 при устранении влияния y_t+1 определяется по формуле:

Где r(1),r(1,2),r(2) – выборочные коэффициенты автокорреляции между y_t и y_t+1,y_t+2 и y_t и y_t+2 соответственно.

Наиболее распространенным приемом устранения автокорреляции во временных ядах является подбор соответствующей модели: авторегрессионной АР(р), скользящей средней СС(q) или авторегрессионной модели скользящей средней АРСС(р,q) для остатков модели (в литературе можно встретить англоязычные названия моделей: авторегрессионной АR(p), сользящей средней – МА(q) и авторегрессионной модели скользящей средней ARMA (p,q.).

Наряду с авторегрессионными моделями временных рядов в эконометрике рассматриваются также модели скользящей средней. В них моделируемая величина задается линейной функцией от возмущений (остатков) в предыдущие моменты времени. Модель скользящей средней порядка q (модель СС(q)) имеет вид:

 

94. Модели тенденции временного ряда

 

Самым распространённым способом моделирования тенденций  временного ряда является построение аналитической функции характеризующей зависимость уровней ряда от времени или тренда.

Временные ряды наблюденных показателей чаще всего аппроксимируются следующими элементарными функциями: y=a+b_1*t (уравнение прямой линии); y=a+b_1*t+b_2*t² (парабола 2-го порядка); y=a+b_1*t+b_1*t²+b_3*t³ (парабола 3-го порядка); y=a+b_*ln(t) (логарифмическая); y=a_*t^b (степенная); y=a_*b^t (показательная); y=a+ (гиперболическая); y=1/(a+b_*e^-t) (логистическая); y=sin t и y=cos t (тригонометрическая). Возможно использование комбинированных функций.

Некоторые социально-экономические  процессы и объекты моделируются на основе тренда с помощью определенных функций. Например, демографические модели, модели спроса, модели урожайности и т.д.

Приведем примеры функций, которые  используются для моделирования спроса:

1.у = а – функция спроса  не зависит от времени;

2.у = a + bt – функция спроса линейно зависит от времени;

3. - функция спроса циклично (периодично) зависит от времени;

4. - функция спроса линейно-циклично меняется во времени.

Выделение тренда может  быть произведено тремя методами: скользящей средней, укрупнения интервалов или аналитического выравнивания.

Под аналитическим выравниванием, которое используется наиболее часто, подразумевается определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления.

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t = 1, 2, ….n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда у_t. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Выбранная прогнозная эмпирическая функция, описывающая динамический ряд, должна минимизировать стандартное отклонение S на интервале оценивания, обеспечивать тесноту связи (по коэффициенту корреляции); аппроксимирующее уравнение должно быть адекватно фактической временной тенденции (по F-критерию) и устранять автокорреляцию.

Технология моделирования на основе тренда включает следующие этапы.

1.Анализ и обработка исходной  информации.

2.Выбор вида функции, описывающей  временной ряд.

3.Расчет параметров функции.

4.Оценка адекватности  и достоверности уравнения тренда.

Оценка адекватности может проводится с помощью следующих показателей.

Е= -  остаточная сумма квадратов отклонений фактических значений от расчетных

S = , где

S - стандартное отклонение;

n - число элементов  ряда;

f - число  параметров.

- средняя ошибка аппроксимации

А< 12%  свидетельствует  об адекватности функции реальным условиям

R² = - коэффициент детерминации

R² (квадрат коэффициента корреляции) - доля дисперсии, объясняемая регрессией, в общей дисперсии результативного признака

F-тест - оценивание качества  уравнения - состоит в проверке  гипотезы Н_о о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи

F_расч= - F-критерий Фишера

Наличие автокорреляции остатков выявляется критерием Дарбина-Уотсона 

DW=  0 < DW < 4

 

Рассмотрим последовательность моделирования среднесписочной  численности занятых в промышленности.

 

Таблица 3.3.

Среднесписочная численность  промышленно-производственного персонала 

промышленности Курской  области

Годы	1985	1986	1987	1988	1989	1990	1991	1992
Численность, тыс. чел.	194,8	194,5	192,9	189,8	189,2	185,6	180,4	180,5
Годы	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
Численность, тыс. чел.	166,8	155,5	146,8	133,4	131,2	124,5	122,3	117,8

 

Динамический ряд численности  занятых в промышленности имеет  явно выраженную тенденцию к убыванию и описывается линейной и экспоненциальной функциями (наличие тенденции подтверждается методом Фостера-Стюарта и критерием Валлиса и Мура).

Моделирование среднесписочной  численности промышленно-производственного  персонала промышленности проводится на основе экспоненциальной функции и уравнения прямой линии результаты расчетов параметров и показателей адекватности приводятся в таблицах 3.4. и 3.5.

 

Таблица 3.4

Технологическая таблица  для функции y_t=220,62e^-0,0374t

Годы (t)	Фактические  значения  ССЧ (y)	Расчетные  значения ССЧ (yt)	yt-y	|yt-y| y	Показатели адекватности
1985	194,8	212,52	17,72	0,09	1187,6
1986	194,5	204,72	10,22	0,05	S=9,56
1987	192,9	197,20	4,30	0,02	A=4%
1988	189,8	189,97	0,17	0,00	Fтабл (к1=1; к2=13) = 4,75
1989	189,2	182,99	-6,21	0,03	=0,05
1990	185,6	176,27	-9,33	0,05	Fрасч = 17,7
1991	180,4	169,80	-10,60	0,06	Fрасч  > Fтабл
1992	180,5	163,57	-16,93	0,09	DWкр ( к=1; n=15) =
1993	166,8	157,57	-9,23	0,06	=[1,05; 1,35]
1994	155,5	151,78	-3,72	0,02	DWрасч = 1,2
1995	146,8	146,21	-0,59	0,00	DWрасч  DWкр
1996	133,4	140,84	7,44	0,06	=0,05
1997	131,2	135,67	4,47	0,03	Опр = 3%
1998	124,5	130,69	6,19	0,05
1999	122,3	125,89	3,59	0,03