Этапы экономико-математического моделирования

В процессе исследования выявляются причинно-следственные отношения или связь объектов, явлений и процессов, когда изменение одного из них (причины) ведет к изменению другого (следствия). Определение факторов, оказывающих существенное влияние на вариацию результатов социально-экономического развития, количественная оценка влияния, позволяет определить основные направления совершенствования процесса управления.

Когда говорят  о взаимосвязи двух или нескольких показателей (не только в сфере экономики, но и вообще в природе или обществе), то различают две формы связи: функциональную и корреляционную (стохастическую, вероятностную, статистическую).

Функциональная  зависимость проявляется определенно  и точно в каждом отдельном случае, в каждом отдельном наблюдении. Например, известный закон Ома, устанавливает функциональную зависимость между напряжением, сопротивлением и силой тока. Этот закон строго соблюдается независимо от вида проводника. Знание функциональных зависимостей позволяет точно прогнозировать события даже для отдаленного будущего. Например, солнечные и лунные затмения.

Корреляционная  зависимость в отличие от функциональной проявляется лишь в общем и среднем и только в массе наблюдений. Например, зависимость между весом и ростом человека является корреляционной зависимостью и может быть описана уравнением у=х-100, где х-рост в см, а у- вес в кг.

В теории статистики статистическую и корреляционную зависимость различают. Статистической называется зависимость между случайными величинами, при которой изменение одной из величин влечет за собой изменение закона распределения другой величины. Корреляционная зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется математическое ожидание другой.

В экономических  исследованиях часто изучаются  связи между случайными и неслучайными величинами. Такие связи называют регрессионными, а метод их изучения - регрессионным анализом.

Наличие зависимости  устанавливается в результате качественного  анализа, позволяющего вскрыть внутреннюю сущность изучаемого явления и порождающих его причин. Корреляционно-регрессионный анализ предназначен для количественного измерения выявленной связи, хотя он способствует уточнению выводов самого качественного анализа.

Таким образом, еще до математического расчета, считается установленным, что связь между независимым показателем-фактором х и зависимой переменной у существует (по меньшей мере, может существовать) и характеризуется функцией y=f(x).

Математически задача формулируется следующим  образом. Требуется найти аналитическое  выражение зависимости экономического явления (например, производительности труда) от определяющих его факторов; т.е. ищется функция y=f(x1,x2,........,xn), отражающая в среднем зависимость, по которой, зная значения независимых факторов x_i, можно найти приближенное значение зависимого от них показателя y.

В качестве функции  в регрессионном анализе принимается  случайная переменная, а аргументами являются неслучайные переменные.

Примером  возможного применения регрессионного анализа в экономике является исследование влияния на производительность труда и себестоимость таких факторов, как величина основных производственных фондов, заработная плата и др.

Понятие «регрессия» связано с понятием «корреляция».

Слово «корреляция» латинского происхождения и в переводе означает «соответствие», «взаимосвязь». Корреляция в широком смысле слова означает связь, соотношение между объективно существующими объектами, явлениями и процессами. На основе показателей корреляции можно оценить силу или тесноту связи. В корреляционном анализе оценивается сила связи, в регрессионном анализе исследуется ее форма.

Корреляция  и регрессия имеют различные  виды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.2. Классификация видов регрессий

 

Кратко охарактеризуем различные виды регрессий.

Парная (простая) регрессия - регрессия между двумя переменными: результативной и объясняющей (результативным и факторным признаками). Множественная регрессия - регрессия между зависимой переменной y и двумя и более объясняющими переменными.

Линейная регрессия выражается линейной функцией. Нелинейная регрессия выражается нелинейными функциями.

Положительная регрессия - с увеличением (уменьшением) объясняющей переменной значения зависимой переменной также соответственно увеличиваются (уменьшаются). Отрицательная регрессия - с увеличением или уменьшением объясняющей переменной зависимая переменная уменьшается или увеличивается.

Непосредственная регрессия - зависимая и объясняющая переменные связаны непосредственно друг с другом. Косвенная регрессия - объясняющая регрессия действует на зависимую через ряд других переменных. Ложная регрессия возникает при формальном подходе к исследуемым явлениям без уяснения того, какие причины обуславливают данную связь.

Виды корреляции в  основном адекватны видам регрессии, но имеются некоторые различия.

Относительно  числа переменных различают парную, частную и множественную корреляцию. Парная корреляция - связь между двумя признаками (результативным и факторным или двумя факторными). Частная корреляция - зависимость  между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков. Множественная корреляция - зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.

Корреляционный  анализ - это определение тесноты и направления связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи). Корреляционно-регрессионный анализ - измерение тесноты и направления связи, установление аналитического выражения (формы) связи, оценка достоверности и адекватности регрессии реальным условиям.

Использование регрессионных моделей в управлении (анализе, прогнозировании и принятии решения) предполагает реализацию трех взаимосвязанных этапов.

В основе первого этапа  статистического изучения связи  лежит качественный анализ изучаемого явления или системы, связанный с анализом его природы методами экономической теории, социологии, конкретной экономики. Второй этап - построение модели связи. Он основывается на методах статистики. Третий этап - проведение испытаний на модели, получение результатов и их интерпретация в зависимости от особенностей изучаемого явления или системы.

1.Сбор, анализ, обобщение  исходной информации. Формулирование  гипотезы о наличии регрессионной связи и выбор вида зависимости.

Показатели, используемые в регрессионном анализе, должны отвечать следующим требованиям:

• показатели должны быть количественно измеримы (если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественное измерение, то ему нужно придать количественную определённость, например, в модели урожайности - качество почвы задаётся в виде баллов, в модели стоимости объектов недвижимости учитывается место нахождения недвижимости, районы ранжируются по их предпочтительности);
• объясняющие переменные не должны быть интеркорреллированны между собой: коэффициент корреляции между факторами не должен превышать коэффициент корреляции между фактором и результативным признаком (включение в модель факторов находящихся в высокой степени корреляционной связи приводят к нежелательным последствиям - система нормальных уравнений является плохо обусловленной, оценки коэффициентов регрессии не устойчивы, уравнение регрессии экономически не интерпретируется, т.е. возникает явление  мультиколлениарности);
• информационные данные должны быть сопоставимы и иметь нормальное распределение.

При выборе вида зависимости руководствуются следующим: он должен согласовываться с профессионально-логическими соображениями относительно природы и характера исследуемых связей; по возможности используют простые зависимости, не требующие сложных расчетов, легко поддающиеся интерпретации и практическому применению.

Практика  регрессионного анализа говорит  о том, что уравнение линейной регрессии часто достаточно хорошо выражает зависимость между показателями  даже тогда, когда на самом деле они оказываются более сложными. Это объясняется тем, что в пределах исследуемых величин самые сложные зависимости могут носить приближенно линейный характер.

В общей форме  прямолинейное уравнение регрессии  имеет вид:

y=a₀+b_1*x₁+b_2*x₂+........+b_m*x_m,

где y - результативный признак, исследуемая переменная;

      x_i - обозначение фактора (независимая переменная);

     m - общее число факторов;

     a₀ - постоянный (свободный) член уравнения;

     b_i - коэффициент регрессии при факторе.

Увеличение  результативного признака y при изменении фактора x_i на единицу равно коэффициенту регрессии b_i (с положительным знаком); уменьшение - (с отрицательным знаком).

Уравнение регрессии  можно изобразить графически (рис. 2.3.).

    у

     

 

Отрезок “b” показывает

b      приращение “y” при

увеличении значения “х”

на единицу.

    а₀

                                                                              х

     1         2           3      

Рис. 2.3. График простой парной линейной регрессии y=a₀+bx

 

В экономических  исследованиях широко распространены элементарные и комбинированные регрессионные функции. Особое место в их “ассортименте” занимает группа “производственных функций”. Частным случаем регрессионной функции является тренд (зависимость y от времени t).

2.Второй этап - построение модели связи включает расчет параметров уравнения регрессии, оценку адекватности и достоверности уравнения регрессии.

Наиболее распространенным способом расчета параметров уравнения  регрессии является метод наименьших квадратов (МНК). Рассмотрим технологию МНК на следующем примере. Будем считать, что две величины Х и Y взаимосвязаны, причем Y находится в некоторой зависимости от Х. Следовательно, Y будет зависимой, а Х независимой величиной. Значения величин представлены двумя рядами данных:

Y	у1	у2	у3	…	уn
Х	х1	х2	х3	…	xn

 

Предположим, что связь  между Х и Y криволинейна и описывается уравнением параболы второго порядка: . Задача сводится к описанию неизвестных параметров: а₀; а₁; а₂.

Если бы все значения, полученные по данным наблюдения, лежали бы строго на кривой, описываемой уравнением параболы (то есть парабола проходила через все точки с координатами (x_i; y_i)), то для каждой из точек было бы справедливо следующее равенство:

Однако на практике имеем другое равенство:

 

Существует разность между данными наблюдения и данными, полученными по уравнению связи. Эта разность и возникает вследствие наличия ошибок упрощения. Задача заключается в том, чтобы найти коэффициенты уравнения (регрессии), которые обеспечивали бы наименьшую ошибку. Можно минимизировать сумму квадратов абсолютных отклонений (ошибок).

Этот прием (он называется методом наименьших квадратов) обладает тем замечательным свойством, что число нормальных уравнений равно числу неизвестных параметров. Приведенное выше уравнение параболы второго порядка имеет три неизвестных параметра: а₀; а₁; а₂. Минимизируя сумму квадратов отклонений, получим три уравнения.

Для нахождения значений неизвестных параметров необходимо приравнять частные производные указанной суммы по этим параметрам к нулю.

 

Проделав простейшие преобразования, получим систему из трех уравнений, которую называют системой нормальных уравнений.

 

 

Решив систему уравнений, найдем значения а₀; а₁; а₂. Для решения системы можно составить технологическую таблицу на основе исходных данных, при этом суммарные итоги в таблице будут использоваться в системе.

Оценка адекватности полученной модели регрессии реальным условиям начинается с расчета теоретических значений независимой переменной (у_х – по регрессионному уравнению). Сравнение теоретических и фактических значений независимой переменной проводится на основе показателя «средняя ошибка аппроксимации».

Фактические значения результативного  признака (независимой переменной) отличаются от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии. Чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным, и, следовательно, лучше качество модели. Величина отклонений фактических и расчетных значений результативного признака (у – у_х) по каждому наблюдению представляет собой ошибку аппроксимации. Их число соответствует объему совокупности. В отдельных случаях ошибка аппроксимации может оказаться равной нулю. Абсолютные отклонения (у – у_х) могут быть как положительные, так и отрицательные, кроме того, они несравнимы между собой. В связи с этим ошибки аппроксимации каждого наблюдения принято определять в процентах и по модулю.