Этапы экономико-математического моделирования

Проверка основной гипотезы о равенстве средних уровней  двух нормально распределенных совокупностей n₁ и n₂ осуществляется на основе t-критерия Стьюдента.

 

Н₀: y₁ = y₂; H₁: y₁ ≠ y₂

 

= 6,73

t _кр. (α = 0,05; v = n – 2 = 16-2 = 14) = 2,121

 

В связи с тем, что t_p > t_крит нулевая гипотеза о равенстве средних Н₀ отвергается, расхождение между вычисленными средними существенно, следовательно существует тенденция средней.

Метод Фостера  – Стюарта

По мнению Четыркина  Е.М. наиболее надежный практический результат  по выявлению тренда дает метод, разработанный  Фостером Ф. и Стюартом А. и основанный на обнаружении тенденций в изменении дисперсий и в изменении средней.

Применение этого метода предполагает расчет дополнительных показателей:

 

 

 

Таблица 3.2

Расчетная таблица для определения

характеристик метода Фостера-Стюарта

 

Время (год,  квартал)		Численность безработных, тыс. чел	Ut	lt	St	dt
I	1	93,6	0	0	0	0
	2	177,0	1	0	1	1
	3	303,0	1	0	1	1
	4	512,0	1	0	1	1
II	1	683,0	1	0	1	1
	2	736,0	1	0	1	1
	3	712,0	0	0	0	0
	4	781,0	1	0	1	1
III	1	988,0	1	0	1	1
	2	1220,0	1	0	1	1
	3	1381,0	1	0	1	1
	4	1554,0	1	0	1	1
IV	1	1823,0	1	0	1	1
	2	1994,0	1	0	1	1
	3	2083,0	1	0	1	1
	4	2232,0	1	0	1	1
Итого		-	14	0	14	14

 

С помощью величины S проверяется гипотеза о наличии тенденции в дисперсиях , а на основе величины d проверяется наличие тенденции в средней: , где

- средняя квадратическая ошибка  S;

- средняя квадратическая ошибка  d;

- математическое ожидание S.

 - табличные величины.

Проверка гипотез осуществляется путем сравнения расчетных значений t-критерия Стьюдента с критическим значением.

Если t₁ > t_кр, то существует тенденция в дисперсии, если t₂ > t_кр -  тенденция в средних.

В изучаемом примере:

t _кр. (α = 0,05; v = n – 1 = 16-1 = 15) = 2,131

 

Так как t_p1>t_кр и t_p2>t_кр , то гипотезы об отсутствии тенденции в средней и дисперсии отвергаются, то есть в ряду динамики существует тенденция и средней, и дисперсии, а следовательно, существует и тренд.

Применив два метода выявления тенденции, получили некоторое  противоречие в результатах: в первом методе - отсутствует тенденция в дисперсии, во втором аналогичная тенденция выявлена. Решение данного вопроса может быть найдено в повторной проверке результатов методами выявления тенденции не по ее видам, а в целом в ряду динамики. С этой целью можно использовать фазочастотный критерий знаков разностей Валлиса и Мура.

Фазочастотный критерий знаков разностей Валлиса  и Мура

Нулевая гипотеза (Н₀) заключается в утверждении, что знаки последовательных разностей (Y_i+1 - Y_i) (знаки абсолютных цепных приростов) образуют случайную последовательность. Последовательность одинаковых знаков называется фазой. Расчетное значение фазочастотного критерия разностей определяется по формуле:

 

, где 

h - число фаз; n - число  уровней

 

 

Так как t_p=4,29 > t_кр=1,87 (по таблице значений вероятности t_кр для фазочастотного критерия), то нулевая гипотеза отвергается, уровни ряда численности официально зарегистрированных безработных не образуют случайную последовательность, следовательно, имеют тенденцию.

 

97.Автокорреляция в динамических рядах. Коэффициенты (критерии) измерения

 

Автокорреляция  уровней временного ряда

  и выявление его структуры

При наличии  во временном ряде тенденции и  циклических колебаний, значение каждого  последующего уровня ряда зависит от предыдущего.

Корреляционную зависимость  между последующими уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней  ряда.

Количественно автокорреляцию можно измерить с помощью линейного  коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на один или несколько шагов во времени.

Одна из рабочих формул для расчета коэффициента корреляции имеет вид:

 

 

В качестве переменной у  рассматривается ряд y₂, y₃, ……., y_n; в качестве переменной х – ряд у₁, у₂, …….у_n-1. Тогда приведенная выше формула примет вид:

 

 

Эту величину называют коэффициентом  автокорреляции уровней ряда первого  порядка, так как он измеряет зависимость  между соседними уровнями ряда t и t-1, то есть при лаге 1.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго  и более высоких порядков. Число  периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число  пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше n/4.

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции.

Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом  корреляции и таким образом характеризует  тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней. Поэтому  по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод  о возрастающей или убывающей  тенденции в уровнях ряда. Большинство  временных рядов экономических  данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов  автокорреляции уровней: первого, второго  и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости  её значений от величины лага (порядка  коэффициента корреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет  определить лаг, при котором связь  между текущим и предыдущим уровнями ряда наиболее тесная, то есть можно  выявить структуру ряда (наличие  линейной (нелинейной) тенденции или  отсутствие трендовой компоненты, наличие циклических колебаний). Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка r, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в r моментов времени.

В случае если не один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то можно сделать два  предположения:

- ряд не содержит  тенденции и циклических колебаний  является стационарным или имеет случайные колебания:

- ряд содержит сильную  нелинейную тенденцию, для выявления  которой необходимы дополнительные  исследования.

 

 

Если прослеживается влияние результатов предыдущих наблюдений на результаты последующих, случайные величины (ошибки) ε_i в регрессионной модели не оказываются независимыми. Такие модели называются моделями с наличием автокорреляции.

Как правило, если автокорреляция присутствует, то наибольшее влияние  на последующее наблюдение оказывает  результат предыдущего наблюдения. Наличие автокорреляции между соседними уровнями ряда можно определить с помощью теста Дарбина-Уотсона. Расчетное значение определяется по следующей формуле:

 

Затем по таблицам находят  пороговые значения d_b и d_n. Если расчетное значение:

, то гипотеза об отсутствии  автокорреляции не отвергается  (принимается);

 или  , то вопрос об отвержении или принятии гипотезы остается открытым (расчетное значение попадает в зону неопределенности);

, то принимается альтернативная  гипотеза о наличии положительной  автокорреляции;

, то принимается альтернативная  гипотеза о наличии отрицательной  автокорреляции.

Недостаток теста Дарбина  – Уотсона заключается прежде всего в том, что он содержит зоны неопределенности. Во-вторых, он позволяет выявить наличие автокорреляции только между соседними уровнями, тогда как автокорреляция может существовать и между более отдаленными наблюдениями. Поэтому наряду с тестом Дарбина-Уотсона для проверки наличия автокорреляции используются тест серий (Бреуша – Годфри),Q- тест Льюинга – Бокса и другие. Наиболее распространенным приемом устранения автокорреляции во временных рядах является построение авторегрессионных моделей.

 

Наличие автокорреляции остатков выявляется критерием Дарбина-Уотсона

DW=  0 < DW < 4

 

 

¹ Меньшиков С.М.,КлименкоЛ.А. Длинные волны в экономике.-М.:Международные отношения, 1989.-272с.