Теории У. Ростоу

Введение

Научные исследования в области  математики в последние годы XIX и  первые десятилетия XX в. были связаны  с практическим применением математики в изучении экономических процессов. Однако данная практика носила локальный, прикладной характер. Это не позволяло  обобщать и широко применять результаты подобного рода научно-практических экспериментов на крупных предприятиях промышленности, в экономике в  целом.

На этом фоне новейшие открытия и достижения математической науки  и расширение экономических знаний о производстве создали широкий  простор для сочетания двух научных  направлений — математики и экономики. Результат такого конгломерата способствовал  зарождению новой области науки  — исследованию операций, в дальнейшем приближенно аналогу экономико-математических методов.

Применение математики в  научных исследованиях экономических  процессов и практики хозяйствования не вызывает сомнений. Это — одно из важнейших направлений экономической  теории. Широкое использование математического  аппарата в экономических исследованиях  неизменно связано с именем выдающегося  отечественного ученого, академика  АН СССР, лауреата государственных  и Нобелевской премий в области  экономики Леонида Витальевича  Канторовича (1912-1986).

Линейное программирование - это раздел математики, занимающийся решением задач на отыскание наибольших и наименьших значений, для которых  методы математического анализа  оказываются непригодными. Другими  словами термин «линейное программирование»  характеризует определение программы (плана) работы конкретного экономического объекта на основе выявления линейных связей между его элементами. Задачей  линейного программирования является нахождение оптимального, т. е. наилучшего, плана при заданной системе налагаемых на решение ограничений.

К классу линейного программирования относится задачи, целью которых  является составление оптимальных  планов. Речь может идти об оптимальных  планах производства, продаж, закупок, перевозок, об оптимальном финансовом планировании, оптимальной организации  рекламной кампании или об оптимальном  плане инвестиционного портфеля фирмы.

Актуальность линейного  программирования и обусловила выбор  темы данной работы. Значимость выбранного вопроса определяется также тем, что использование метода линейного  программирования представляет собой важность и ценность - оптимальный вариант выбирается из достаточно значительного количества альтернативных вариантов. Также все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями.

Цели работы: исследование оптимального применения разнообразных форм и методов линейного программирования.

Линейное программирование

Линейное программирование - один из важнейших разделов математики, изучающий теории и методы решения  определенных задач. Эта математическая дисциплина стала в последние  годы широко применяться в различных  областях экономики, техники и военного дела, где в их развитии не последнюю  роль играет математическое планирование и использование автоматических цифровых вычислительных машин. Линейное программирование как раздел исследования операций имеет почти сорокалетнюю историю. Внедрение вычислительной техники дало значительный толчок исследованиям  в этой области математики. Был  разработан ряд алгоритмов решения  задач линейного программирования, а в последующие годы были созданы  программы и пакеты программ преимущественно  для больших ЭВМ.

Данный раздел науки изучает  линейные оптимизационные модели. Иначе  говоря, линейное программирование посвящено  численному анализу и решению  задач, требующих нахождения оптимального значения, т.е. максимума или минимума, некоторой системы показателей  в процессе, а состояние его  описывает система линейных неравенств.

Впервые термин «линейное  программирование» предложил американский экономист Т. Купманс в 1951 году. В 1975 году. Русский математик Л.В.Кангорович и Т. Купманс были удостоены Нобелевской  премии по экономическим наукам за свой вклад в теорию оптимального распределения ресурсов. Т. Купманс  пропагандировал методы линейного  программирования и защищал приоритеты Л.В.Канторовича, открывшего эти методы.

История линейного программирования в США уходит корнями в 1947 год, когда Дж. Данциг написал об этом в своей работе. Л.В.Канторович изучал возможность применения математики к вопросам планирования, на основе чего в 1939 году была опубликована его  монография "Математические методы организации и планирования производства". Важнейшей находкой (открытием) Л.В.Канторовича явилась возможность четко математически сформулировать важнейшие производственные задачи, что позволяет найти количественный подход к данным задачам, а также их решение численными методами.

Если бы первые работы Л.В.Канторовича  получили в свое время должную  оценку, то была бы велика вероятность  еще большего продвижения линейного  программирования в настоящее время. К сожалению, его работа оставалась в тени как в Советском Союзе, так и за его пределами, и, как  отмечает Данциг: «...и за это время  линейное программирование стало настоящим  искусством».

Оптимальный план любой линейной программы следует автоматически  связывать с оптимальными ценами или, согласно Л.В.Канторовичу, с «объективно  обусловленными оценками»... Это нагромождение  слов имело целью повысить «критикоустойчивость»  термина. Суть экономического открытия Л.В.Канторовича заключается во взаимосвязи  оптимальных решений и оптимальных  цен.

На конференциях по внедрению  АСУП, проходивших в 1970-е гг., Канторович часто сокрушался, что на практике в АСУП реализуется только учет- но-информационная часть, тогда как вариантно-аналитическая часть не воспринимается управленцами и не внедряется (а часто и не проектируется).

Сейчас АСУП плавно перетекли  в КИС (корпоративные информационные системы), но в российских условиях мало что изменилось. Внедрение каких-либо моделей принятия решений, включая ЛП, в производственное и инвестиционное планирование до сих пор является редкостью.

Надо, однако, отметить, что  одна из трудностей внедрения заключалась  в неосознании апологетами ЛП факта различия применения ЛП для целей текущего и стратегического планирования. Если о текущем планировании неоднократно писалось и вопрос представляется ясным, то не так обстоит дело со стратегическим менеджментом. Решение задачи ЛП приводит, как правило, к тому, что ряд продуктов из числа возможных не производится или часть возможных способов производства (технологических и организационных) не используется. Здесь уместно остановиться на понимании термина «ресурсы». В текущем планировании ресурсы отождествляются с факторами в неоклассическом смысле слова. Факторы уже есть — их не надо создавать. Современный стратегический менеджмент ориентируется на рассмотрение тех ресурсов, которые надо создавать в динамическом процессе управления фирмой [Катькало, 2003]. Сам Канторович не уделял особого внимания тому факту, что в оптимальном решении бывает много нулей (это скорее раздражало его при интерпретации нулевых теневых цен, которые он предлагал брать очень маленькими [Канторович, 1959]). Сам этот факт является следствием второй теоремы двойственности, которую знал и использовал Канторович, но явно математически сформулировал американский математик Дж. Данциг (George Dantzig). Равенство нулю переменной, отвечающей за объем производства основного продукта или интенсивность применения некоторой технологии, означает принятие стратегического решения. В условном примере [Канторович, Горст- ко, 1972, с. 30-32] одна из трех шахт угольного предприятия должна быть закрыта. Авторы не обсуждают социально-экономические последствия этого решения, относясь к оптимуму чисто формально — ему надо следовать. Это же должно быть началом размышления о стратегическом решении: необходимо проанализировать затраты на экологию, увольнение или перевод в другое место рабочей силы и т. п. В частности, такой анализ должен учесть, что существенное изменение процесса производства влечет изменение соотношения между постоянными и переменными затратами, что выводит проблему за рамки предположения о линейности.

Необходимость качественного  анализа, далеко выходящего за рамки ЛП, делает, тем не менее, анализ линейной модели важной составной частью интегрального исследования. Например, подсчитав затраты и решив не принимать стратегического решения, целесообразно с новыми данными о возможных затратах вернуться к задаче об оптимуме. Может быть, неформальная интуиция подвела! Это направление приложений было совсем упущено. Упомянутый выше пример кратко рассмотрен на прилагаемой врезке «Один пример Канторовича как задача стратегического менеджмента».

Отметим, что если в 1950-е  гг. изложение ЛП зачастую включалось в монографии и учебники по микроэкономике как часть неоклассической теории фирмы (упомянем лишь монографию классиков экономической теории [Dorf- man, Samuelson, Solow, 1958]), то уже к 1970-м гг. эта традиция почти сошла на нет. Для микроэкономики ЛП и слишком упрощенно, и слишком конкретно. С другой стороны, не скроем, что и слишком трудно. Излагаемая в учебнике по микроэкономике фирма — однопродуктовая. Задача ЛП о выборе производственной программы не существует (тривиальна) для однопродук- товой фирмы. ЛП — это теория многопродуктовой фирмы или фирмы, обладающей многими взаимозаменяемыми технологиями!

Использованный в названии монографии [Канторович, 1959] термин «ресурсы» соответствует неоклассическому понятию «факторы производства» и означает наличные ресурсы (сырье, материалы, полуфабрикаты, комплектующие, энергия, труд и т. п.). Ресурсная концепция современного стратегического менеджмента предполагает абсолютно иную трактовку: ресурсы связаны с внутрифирменной организацией процессов, они создаются и совершенствуются внутри фирмы для достижения конкурентных преимуществ, ресурсы уникальны и не торгуются на рынке.

Достижения в области  линейного программирования содействовали  прогрессу в разработке методов  и алгоритмов решения задач оптимизации  других классов, в том числе задач  нелинейного, целочисленного и комбинаторного программирования. В настоящее время  задачи линейного программирования широко используются в процессе подготовки специалистов самой различной квалификации.

Вклад Л.В. Канторовича в  развитие экономической теории

Канторович был одновременно ученым- концептуалистом и ученым-универсалом, чей вклад существенно изменил  лицо ряда фундаментальных дисциплин. В этой публикации мы рассмотрим малоисследованный в отдельности вопрос о Канторовиче как теоретике менеджмента. Тема эта значительно более узкая, чем Канторович-экономист. Поэтому мы не будем касаться острых баталий начала 1960-х гг. (эпохальных для российской экономической теории!), когда традиционные представители политэкономии социализма громили Канторовича как интуитивного неоклассика (употребляю слово «интуитивного», так как Канторович в момент создания своей теории, по- видимому, не имел доступа к работам неоклассиков, тогда как третий том «Капитала» Карла Маркса, посвященный экономической ренте, он основательно проштудировал). Такой подход позволяет непосредственно рассмотреть позитивный вклад Леонида Витальевича в конкретную экономику и управление Л. В. Канторович был вундеркиндом — в 14 лет он поступил на математико-ме- ханический факультет ЛГУ, а в 20 был уже полным профессором того же факультета. Из двух его первых выдающихся учеников-математиков один (Б. З. Ву- лих, 1913-1979) был лишь на год младше, а другой (А. Г. Пинскер, 1905-1985) — на семь лет старше. Подробно с автобиографическими и библиографическими материалами о Канторовиче можно познакомиться в [Канторович, Кутатела- дзе, Фет, 2002]. Влияние Канторовича на становление экономического образования в СССР рассмотрено в [Бухвалов, Дмитриев, 1999].

Обычно интерес Канторовича  к экономическим (точнее, в данном случае, управленческим) вопросам связывают с «задачей для фанерного треста» — типичной задачей выбора оптимального (по критерию выручки) оперативного плана использования имеющегося оборудования с выполнением ассортиментного задания (каждый из видов продукции мог производиться на любом из станков, но с разной производительностью; под ассортиментным заданием Канторович понимал то, что различные виды продукции производятся в определенном соотношении). Это привело в 1939 г. к новаторской формулировке задачи линейного программирования (ЛП). Ответ давался в терминах интенсивности использования каждого ресурса. Именно за это открытие ему совместно с американским экономистом Тьяллингом Купман- сом была присуждена в 1975 г. Нобелевская премия по экономике — «за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов». Кстати, заметим, что когда теория Канторовича стала с большим опозданием известна на Западе, то перевод брошюры 1939 г. был опубликован именно в управленческом журнале — Management Science. Мы не будем здесь касаться собственно истории появления ЛП и приоритетных вопросов, хорошо представленных в [Канторович, Кутателадзе, Фет, 2002] и [Леонид Витальевич Канторович..., 1999] (см. также: [Lenstra, Rin- nooy Kan, Shrijver, 1991]).

Однако из воспоминаний Канторовича известно, что за год до этого он обращался в правительство с письмом о неправильностях ценообразования в СССР [Канторович, Кутателадзе, Фет, 2002, с. 51]. Канторовичу в тот раз повезло — его просто пожурили и посоветовали заниматься математикой. Производственный план и ценообразование на факторы (ресурсы) стали центральной темой исследований Канторовича.

Неоклассическая экономика, в основе которой лежит предельный (маржи- налистский) анализ (какой прирост дает малое изменение фактора?), содержит в своем традиционном представлении скрытую неоднозначность интерпретации. Равновесный анализ, создававшийся Вальрасом для капиталистической экономики с мобильностью факторов и интересов, отсутствием регулирования цен, был вскоре логически почти безупречно применен к анализу плановой экономики с регулированием цен и отсутствием мобильности большинства факторов (итальянец Бароне в 1908 г., затем Ланге, Лернер и Тейлор в США в 1930-е гг.; подр. см.: [Гальперин, Игнатьев, Моргунов, 1997, приложение 15Б]). Авторы второго подхода, в противоположность большинству неоклассиков, усматривали достоинства в плановой экономике, которая находит оптимальное распределение ресурсов в теории, а затем имеет возможность через плановый механизм реализовать оптимум на практике. И первые и вторые оперировали предельными величинами, выражаемыми модельно как частные производные. Невозможность довести до конкретного числа вычисление этих частных производных, а тогда и равновесного состояния экономики, мало беспокоила первых — их модели носили качественный характер. Они были удовлетворены, если знали знак производной, который означал возрастание или убывание экономической величины при увеличении значения фактора. Вторым этого было мало. Они хотели вычислить и реализовать народнохозяйственный оптимум. Теперь мы знаем, что это в принципе невозможно в силу неопределенности действий и реакций, которая обязательно имеет место в любой социально активной системе. Однако в рамках линейной модели со всеми ее содержательными упрощениями можно вычислить конкретные значения частных производных. Именно такую возможность и предоставляет ЛП Канторовича.